Comment utiliser la sigma-additi… : En appliquant P(bigcup_ n≥ 0 A_n)=sum_… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment utiliser la $\sigma$ -additivité d'une probabilité ?

En appliquant $P\left(\bigcup_{n\geq 0} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)$ pour $(A_n)$ deux à deux disjoints

Calculer $P\left(\bigcup_{n\geq 0} A_n\right)$ lorsque les événements $(A_n)_{n\geq 0}$ sont deux à deux disjoints.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance indéfiniment une pièce équilibrée. Soit $A_n$ l'événement « le premier pile apparaît au rang $n$ » pour $n\geq 1$ . Calculer $P\left(\bigcup_{n\geq 1} A_n\right)$ .

L'objectif

Calculer $P\left(\bigcup_{n\geq 0} A_n\right)$ lorsque les événements $(A_n)_{n\geq 0}$ sont deux à deux disjoints.

Le principe

L'axiome de $\sigma$ -additivité affirme que pour toute suite $(A_n)_{n\geq 0}$ d'événements deux à deux disjoints, $P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)$ .

La méthode

1
J'identifie l'événement à étudier comme une union dénombrable $\bigcup_{n\geq 0} A_n$ et je vérifie que les $A_n$ sont deux à deux disjoints ( $A_i \cap A_j = \varnothing$ pour $i\neq j$ ).
2
J'applique la $\sigma$ -additivité : $P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)$ .
3
Je calcule la somme de la série (série géométrique, télescopique, exponentielle…) pour obtenir la valeur finale.
Comment calculer la somme d'une série géométrique et de ses dérivées ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On lance indéfiniment une pièce équilibrée. Soit $A_n$ l'événement « le premier pile apparaît au rang $n$ » pour $n\geq 1$ . Calculer $P\left(\bigcup_{n\geq 1} A_n\right)$ .

Étape 1 —

J'identifie l'événement à étudier comme une union dénombrable

\bigcup_{n\geq 0} A_n

et je vérifie que les

A_n

sont deux à deux disjoints (

A_i \cap A_j = \varnothing

pour

i\neq j

Les événements $A_n$ sont deux à deux disjoints car le premier pile apparaît à un unique rang.

Étape 2 —

J'applique la

\sigma

-additivité :

P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)

Par $\sigma$ -additivité, $P\left(\bigcup_{n\geq 1} A_n\right)=\sum_{n=1}^{+\infty} P(A_n)$ avec $P(A_n)=\left(\frac{1}{2}\right)^n$ .

Étape 3 —

Je calcule la somme de la série (série géométrique, télescopique, exponentielle…) pour obtenir la valeur finale.

Je reconnais une série géométrique : $\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1/2}{1-1/2}=1$ .

$P\left(\bigcup_{n\geq 1} A_n\right)=1$ : on obtient presque sûrement un pile.

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Comment utiliser la σ\sigmaσ-additivité d'une probabilité ?

En appliquant P(⋃n≥0An)=∑n=0+∞P(An)P\left(\bigcup_{n\geq 0} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)P(⋃n≥0​An​)=∑n=0+∞​P(An​) pour (An)(A_n)(An​) deux à deux disjoints

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment utiliser la $\sigma$ -additivité d'une probabilité ?

En appliquant $P\left(\bigcup_{n\geq 0} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)$ pour $(A_n)$ deux à deux disjoints