Comment étudier la position… : En analysant le premier terme non… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment étudier la position locale d'une courbe par rapport à sa tangente ?

En analysant le premier terme non linéaire $a_k x^k$ ( $k\geq 2$ ) du DL ; position et forme (k=2, k=3)

Déterminer la position locale en $0$ de la courbe de $f$ par rapport à sa tangente, et l'allure associée.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la position locale en $0$ de $f(x)=e^x$ par rapport à sa tangente.

L'objectif

Déterminer la position locale en $0$ de la courbe de $f$ par rapport à sa tangente, et l'allure associée.

Le principe

Si $f$ admet un DL en $0$ de la forme $f(x)=a_0+a_1 x+a_k x^k+o(x^k)$ avec $k\geq 2$ et $a_k\neq 0$ , la tangente en $0$ a pour équation $y=a_0+a_1 x$ et la position locale est donnée par le signe de $a_k x^k$ : si $k$ est pair la courbe est du même côté que le signe de $a_k$ (au-dessus si $a_k>0$ , au-dessous sinon) ; si $k$ est impair la courbe traverse sa tangente (point d'inflexion).

La méthode

1
Je calcule le DL de $f$ en $0$ à un ordre suffisant pour faire apparaître le premier terme non linéaire $a_k x^k$ avec $a_k\neq 0$ et $k\geq 2$ .
2
J'écris la tangente $T:y=a_0+a_1 x$ et je forme $f(x)-(a_0+a_1 x)=a_k x^k+o(x^k)\sim a_k x^k$ au voisinage de $0$ .
3
Je conclus selon la parité de $k$ et le signe de $a_k$ : $k$ pair $\Rightarrow$ courbe au-dessus ( $a_k>0$ ) ou au-dessous ( $a_k<0$ ) de $T$ ; $k$ impair $\Rightarrow$ point d'inflexion avec traversée de la tangente.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la position locale en $0$ de $f(x)=e^x$ par rapport à sa tangente.

Étape 1 —

Je calcule le DL de

f

0

à un ordre suffisant pour faire apparaître le premier terme non linéaire

a_k x^k

avec

a_k\neq 0

k\geq 2

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$ donc $a_0=1$ , $a_1=1$ , premier terme non linéaire $a_2 x^2$ avec $a_2=\tfrac{1}{2}>0$ , $k=2$ pair.

Étape 2 —

J'écris la tangente

T:y=a_0+a_1 x

et je forme

f(x)-(a_0+a_1 x)=a_k x^k+o(x^k)\sim a_k x^k

au voisinage de

0

La tangente en $0$ est $T:y=1+x$ et $f(x)-(1+x)=\tfrac{x^2}{2}+o(x^2)\sim \tfrac{x^2}{2}$ .

Étape 3 —

Je conclus selon la parité de

k

et le signe de

a_k

k

pair

\Rightarrow

courbe au-dessus (

a_k>0

) ou au-dessous (

a_k<0

) de

T

;

k

impair

\Rightarrow

point d'inflexion avec traversée de la tangente.

Comme $k=2$ est pair et $a_2>0$ , la courbe est localement au-dessus de sa tangente.

La courbe de $\exp$ est localement au-dessus de la tangente $y=1+x$ en $0$ .

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Comment étudier la position locale d'une courbe par rapport à sa tangente ?

En analysant le premier terme non linéaire akxka_k x^kak​xk (k≥2k\geq 2k≥2) du DL ; position et forme (k=2, k=3)

Pour comprendre, fais des exercices !

En analysant le premier terme non linéaire $a_k x^k$ ( $k\geq 2$ ) du DL ; position et forme (k=2, k=3)