Comment étudier une suite arithmético-géométrique ?

En déterminant le point fixe $\ell$ et en posant $v_n=u_n-\ell$ (géométrique)

L'objectif

Obtenir l'expression explicite d'une suite arithmético-géométrique $u_{n+1}=au_n+b$ (avec $a \neq 1$ ).

Le principe

Si $a \neq 1$ , le point fixe $\ell=\frac{b}{1-a}$ de $x \mapsto ax+b$ existe, et la suite $v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$ .

La méthode

1
Je vérifie que $a \neq 1$ et je résous $\ell=a\ell+b$ , ce qui donne $\ell=\frac{b}{1-a}$ .
2
Je pose $v_n=u_n-\ell$ et je calcule $v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=a u_n + b-\ell=a(u_n-\ell)=av_n$ .
3
Je reconnais que $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ et de premier terme $v_0=u_0-\ell$ , donc $v_n=a^n v_0$ .
4
Je reviens à $(u_n)$ : $u_n=v_n+\ell=a^n(u_0-\ell)+\ell$ .

Difficulté croissante de 1 à 3

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En déterminant le point fixe ℓ\ellℓ et en posant vn=un−ℓv_n=u_n-\ellvn​=un​−ℓ (géométrique)