Comment étudier une suite arithmético-géométrique ? | MetMat

Comment étudier une suite arithmético-géométrique ?

En déterminant le point fixe $\ell$ et en posant $v_n=u_n-\ell$ (géométrique)

Obtenir l'expression explicite d'une suite arithmético-géométrique $u_{n+1}=au_n+b$ (avec $a \neq 1$ ).

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3$ . Déterminer $u_n$ en fonction de $n$ .

L'objectif

Obtenir l'expression explicite d'une suite arithmético-géométrique $u_{n+1}=au_n+b$ (avec $a \neq 1$ ).

Le principe

Si $a \neq 1$ , le point fixe $\ell=\frac{b}{1-a}$ de $x \mapsto ax+b$ existe, et la suite $v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$ .

La méthode

1
Je vérifie que $a \neq 1$ et je résous $\ell=a\ell+b$ , ce qui donne $\ell=\frac{b}{1-a}$ .
2
Je pose $v_n=u_n-\ell$ et je calcule $v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=a u_n + b-\ell=a(u_n-\ell)=av_n$ .
3
Je reconnais que $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ et de premier terme $v_0=u_0-\ell$ , donc $v_n=a^n v_0$ .
4
Je reviens à $(u_n)$ : $u_n=v_n+\ell=a^n(u_0-\ell)+\ell$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3$ . Déterminer $u_n$ en fonction de $n$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

a \neq 1

et je résous

\ell=a\ell+b

, ce qui donne

\ell=\frac{b}{1-a}

Ici $a=\frac{1}{2} \neq 1$ et $b=3$ . Je résous $\ell=\frac{1}{2}\ell+3 \Leftrightarrow \ell=6$ .

Étape 2 —

Je pose

v_n=u_n-\ell

et je calcule

v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=a u_n + b-\ell=a(u_n-\ell)=av_n

Je pose $v_n=u_n-6$ : alors $v_{n+1}=u_{n+1}-6=\frac{1}{2}u_n+3-6=\frac{1}{2}(u_n-6)=\frac{1}{2}v_n$ .

Étape 3 —

Je reconnais que

(v_n)

est géométrique de raison

a

et de premier terme

v_0=u_0-\ell

, donc

v_n=a^n v_0

$(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et $v_0=0-6=-6$ , donc $v_n=-6\left(\frac{1}{2}\right)^n$ .

Étape 4 —

Je reviens à

(u_n)

u_n=v_n+\ell=a^n(u_0-\ell)+\ell

Je conclus $u_n=6-6\left(\frac{1}{2}\right)^n=6\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$ .

$u_n=6\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$ .

Application guidée

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n-4$ . Déterminer $u_n$ .

Application autonome 1

Soit $u_0=10$ et $u_{n+1}=-\frac{1}{3}u_n+4$ . Déterminer $u_n$ et sa limite.

Application autonome 2

Soit $u_0=5$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+3$ . Déterminer $u_n$ en fonction de $n$ et sa limite.

Application autonome 3

Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=2u_n+1$ . Déterminer $u_n$ .

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