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Comment étudier une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) ?

En utilisant l'IAF avec ∣f′∣≤k<1|f'|\leq k<1 (contraction)

L'objectif

Démontrer la convergence d'une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) vers un point fixe ℓ\ell en contrôlant ∣un−ℓ∣|u_n-\ell|.

Le principe

Si ff est dérivable sur un intervalle stable II avec ∣f′(x)∣≤k<1|f'(x)|\leq k<1 pour tout x∈Ix \in I, alors par l'inégalité des accroissements finis ∣un+1−ℓ∣≤k∣un−ℓ∣|u_{n+1}-\ell|\leq k|u_n-\ell|, d'où ∣un−ℓ∣≤kn∣u0−ℓ∣→0|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell| \to 0.

La méthode
  1. 1
    Je détermine un intervalle II stable contenant u0u_0 et un point fixe ℓ\ell de ff dans II.
  2. 2
    Je majore ∣f′∣|f'| sur II par une constante k<1k<1 (étude de ∣f′∣|f'|).
  3. 3
    J'applique l'IAF entre unu_n et ℓ\ell : ∣f(un)−f(ℓ)∣≤k∣un−ℓ∣|f(u_n)-f(\ell)|\leq k|u_n-\ell|, soit ∣un+1−ℓ∣≤k∣un−ℓ∣|u_{n+1}-\ell|\leq k|u_n-\ell|.
    Voir
  4. 4
    Par récurrence immédiate, ∣un−ℓ∣≤kn∣u0−ℓ∣|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell| ; comme k<1k<1, kn→0k^n \to 0 et par encadrement un→ℓu_n \to \ell.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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