Comment calculer l'inverse… : En résolvant AX=Y en fonction de Y et… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment calculer l'inverse d'une matrice via la résolution de AX = Y ?

En résolvant AX=Y en fonction de Y et en lisant $X=A^{-1}Y$ pour récupérer $A^{-1}$

Calculer l'inverse d'une matrice carrée $A$ en résolvant le système $AX=Y$ en fonction d'un second membre générique $Y$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer l'inverse de $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

L'objectif

Calculer l'inverse d'une matrice carrée $A$ en résolvant le système $AX=Y$ en fonction d'un second membre générique $Y$ .

Le principe

Une matrice carrée $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est inversible si et seulement si, pour tout $Y\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ , le système $AX=Y$ admet une unique solution $X$ , et cette solution s'écrit $X=A^{-1}Y$ ; les colonnes de $A^{-1}$ se lisent alors comme les coefficients de $X$ en fonction des composantes de $Y$ .

La méthode

1
Je pose $Y=\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$ et j'écris le système $AX=Y$ avec $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ et le second membre formé des $y_i$ .
2
J'applique la méthode du pivot de Gauss pour triangulariser, puis je résous par remontée afin d'exprimer chaque $x_i$ comme combinaison linéaire des $y_j$ ; si aucun pivot n'est nul, $A$ est inversible.
Comment montrer qu'une matrice est inversible ?Voir
3
Je lis $A^{-1}$ en formant la matrice dont les coefficients sont ceux des $y_j$ dans l'expression des $x_i$ , puis je vérifie l'inverse en contrôlant que $AA^{-1}=I_n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer l'inverse de $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je pose

Y=\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}

et j'écris le système

AX=Y

avec

X=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}

et le second membre formé des

y_i

Je pose $Y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$ , soit le système $\begin{cases} 2x_1+x_2=y_1 \\ x_1+x_2=y_2 \end{cases}$ .

Étape 2 —

J'applique la méthode du pivot de Gauss pour triangulariser, puis je résous par remontée afin d'exprimer chaque

x_i

comme combinaison linéaire des

y_j

; si aucun pivot n'est nul,

A

est inversible.

$L_1\leftarrow L_1-L_2$ donne $x_1=y_1-y_2$ , puis $x_2=y_2-x_1=y_2-(y_1-y_2)=-y_1+2y_2$ .

Étape 3 —

Je lis

A^{-1}

en formant la matrice dont les coefficients sont ceux des

y_j

dans l'expression des

x_i

, puis je vérifie l'inverse en contrôlant que

AA^{-1}=I_n

Ainsi $X=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}Y$ , donc $A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ ; vérification : $AA^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ .

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Comment calculer l'inverse d'une matrice via la résolution de AX = Y ?

En résolvant AX=Y en fonction de Y et en lisant X=A−1YX=A^{-1}YX=A−1Y pour récupérer A−1A^{-1}A−1

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant AX=Y en fonction de Y et en lisant $X=A^{-1}Y$ pour récupérer $A^{-1}$