Comment utiliser la stabilité… : En appliquant X + Y B(n_1 + n_2, p)… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment utiliser la stabilité des lois binomiales et de Poisson par somme ?

En appliquant X + Y ~ B(n_1 + n_2, p) (resp. P(λ_1 + λ_2)) pour X, Y indépendantes

Identifier la loi d'une somme $X + Y$ de variables indépendantes lorsque $X$ et $Y$ sont binomiales ou de Poisson.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

$X \hookrightarrow \mathcal{B}(3, 0{,}4)$ et $Y \hookrightarrow \mathcal{B}(5, 0{,}4)$ indépendantes. Donner la loi, l'espérance et la variance de $X + Y$ .

L'objectif

Identifier la loi d'une somme $X + Y$ de variables indépendantes lorsque $X$ et $Y$ sont binomiales ou de Poisson.

Le principe

Si $X \hookrightarrow \mathcal{B}(n_1, p)$ et $Y \hookrightarrow \mathcal{B}(n_2, p)$ sont indépendantes avec MÊME paramètre $p$ , alors $X + Y \hookrightarrow \mathcal{B}(n_1 + n_2, p)$ . Si $X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_1)$ et $Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_2)$ sont indépendantes, alors $X + Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_1 + \lambda_2)$ .

La méthode

1
J'identifie les lois de $X$ et $Y$ et je vérifie qu'elles appartiennent à la même famille (binomiale avec le MÊME $p$ , ou Poisson).
2
Je vérifie soigneusement l'hypothèse d'INDÉPENDANCE de $X$ et $Y$ (cette hypothèse est indispensable).
3
J'applique directement le résultat de stabilité : $X + Y \hookrightarrow \mathcal{B}(n_1 + n_2, p)$ dans le cas binomial, $X + Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_1 + \lambda_2)$ dans le cas Poisson.
4
Je peux alors en déduire $E(X + Y)$ et $V(X + Y)$ via les formules classiques de la loi identifiée.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

$X \hookrightarrow \mathcal{B}(3, 0{,}4)$ et $Y \hookrightarrow \mathcal{B}(5, 0{,}4)$ indépendantes. Donner la loi, l'espérance et la variance de $X + Y$ .

Étape 1 —

J'identifie les lois de

X

Y

et je vérifie qu'elles appartiennent à la même famille (binomiale avec le MÊME

p

, ou Poisson).

$X$ et $Y$ sont binomiales avec même $p = 0{,}4$ .

Étape 2 —

Je vérifie soigneusement l'hypothèse d'INDÉPENDANCE de

X

Y

(cette hypothèse est indispensable).

L'énoncé assure l'indépendance de $X$ et $Y$ .

Étape 3 —

J'applique directement le résultat de stabilité :

X + Y \hookrightarrow \mathcal{B}(n_1 + n_2, p)

dans le cas binomial,

X + Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_1 + \lambda_2)

dans le cas Poisson.

Par stabilité, $X + Y \hookrightarrow \mathcal{B}(3 + 5, 0{,}4) = \mathcal{B}(8, 0{,}4)$ .

Étape 4 —

Je peux alors en déduire

E(X + Y)

V(X + Y)

via les formules classiques de la loi identifiée.

$E(X + Y) = 8 \times 0{,}4 = 3{,}2$ et $V(X + Y) = 8 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 1{,}92$ .

$X + Y \hookrightarrow \mathcal{B}(8, 0{,}4)$ , $E = 3{,}2$ , $V = 1{,}92$ .

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