Comment montrer qu'une fonction est dérivable en un point ?

En calculant la limite du taux d'accroissement $(f(x)-f(a))/(x-a)$ en a

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x)=x^2$ est dérivable en $a=3$ et calculer $f'(3)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est définie sur un voisinage de $a$ et je pose le taux d'accroissement $\tau_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ pour $x\ne a$ .
2
Je transforme cette expression (factorisation, conjugué, identités remarquables, DL usuels) pour lever l'indétermination $0/0$ .
Comment lever une forme indéterminée ?Voir
3
Je calcule $\lim_{x\to a}\tau_a(x)$ ; si elle existe et est finie, je conclus que $f$ est dérivable en $a$ avec $f'(a)$ égal à cette limite.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que $f(x)=x^2$ est dérivable en $a=3$ et calculer $f'(3)$ .

1

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $\tau_3(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ pour $x\ne 3$ .

2

Je factorise : $\tau_3(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ .

3

$\lim_{x\to 3}(x+3)=6$ , donc $f$ est dérivable en $3$ et $f'(3)=6$ .

$f'(3)=6$ .

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Comment étudier une suite récurrente

u_{n+1}=f(u_n)

à l'aide de l'IAF ?

Comment montrer qu'une fonction est dérivable en un point ?

En calculant la limite du taux d'accroissement (f(x)−f(a))/(x−a)(f(x)-f(a))/(x-a)(f(x)−f(a))/(x−a) en a

Pour comprendre, passons aux exercices.

En calculant la limite du taux d'accroissement $(f(x)-f(a))/(x-a)$ en a