En calculant la limite du taux d'accroissement $(f(x)-f(a))/(x-a)$ en a

Prouver la dérivabilité de $f$ en un point $a$ et calculer $f'(a)$ par la définition.

L'objectif

Prouver la dérivabilité de $f$ en un point $a$ et calculer $f'(a)$ par la définition.

Le principe

Par définition, $f$ est dérivable en $a$ ssi le taux d'accroissement $\tau_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie $\ell$ en $a$ ; on a alors $f'(a)=\ell$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est définie sur un voisinage de $a$ et je pose le taux d'accroissement $\tau_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ pour $x\ne a$ .
2
Je transforme cette expression (factorisation, conjugué, identités remarquables, DL usuels) pour lever l'indétermination $0/0$ .
Comment lever une forme indéterminée ?Voir
3
Je calcule $\lim_{x\to a}\tau_a(x)$ ; si elle existe et est finie, je conclus que $f$ est dérivable en $a$ avec $f'(a)$ égal à cette limite.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f(x)=x^2$ est dérivable en $a=3$ et calculer $f'(3)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est définie sur un voisinage de

a

et je pose le taux d'accroissement

\tau_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

pour

x\ne a

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $\tau_3(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ pour $x\ne 3$ .

Étape 2 —

Je transforme cette expression (factorisation, conjugué, identités remarquables, DL usuels) pour lever l'indétermination

0/0

Je factorise : $\tau_3(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ .

Étape 3 —

Je calcule

\lim_{x\to a}\tau_a(x)

; si elle existe et est finie, je conclus que

f

est dérivable en

a

avec

f'(a)

égal à cette limite.

$\lim_{x\to 3}(x+3)=6$ , donc $f$ est dérivable en $3$ et $f'(3)=6$ .

$f'(3)=6$ .

Application guidée

Étudier la dérivabilité en $0$ de $f(x)=\sqrt{x}$ .

Application autonome 1

Soit $f(x)=|x|$ . Étudier la dérivabilité en $0$ .

Application autonome 2

Étudier la dérivabilité en $a=1$ de $f(x)=x^3$ et calculer $f'(1)$ .

Application autonome 3

Étudier la dérivabilité en $a=0$ de $f(x)=\sin(x)$ et calculer $f'(0)$ .

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En calculant la limite du taux d'accroissement (f(x)−f(a))/(x−a)(f(x)-f(a))/(x-a)(f(x)−f(a))/(x−a) en a

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En calculant la limite du taux d'accroissement $(f(x)-f(a))/(x-a)$ en a