Comment montrer qu'une application est linéaire ? | MetMat

Comment montrer qu'une application est linéaire ?

En vérifiant $f(u+\lambda v)=f(u)+\lambda f(v)$ pour tous $u, v, \lambda$

Montrer qu'une application $f\colon E\to F$ entre deux $\mathbb{R}$ -espaces vectoriels est linéaire.

L'objectif

Montrer qu'une application $f\colon E\to F$ entre deux $\mathbb{R}$ -espaces vectoriels est linéaire.

Le principe

Une application $f$ est linéaire si et seulement si $\forall (u,v)\in E^2,\ \forall \lambda\in\mathbb{R},\ f(u+\lambda v)=f(u)+\lambda f(v)$ .

La méthode

1
On vérifie que $f$ est bien définie de $E$ dans $F$ : pour tout $x\in E$ , $f(x)\in F$ .
2
On se donne $u,v\in E$ et $\lambda\in\mathbb{R}$ quelconques, puis on calcule $f(u+\lambda v)$ en utilisant la définition de $f$ .
3
On développe en utilisant les opérations de $F$ et on reconnaît $f(u)+\lambda f(v)$ .
4
On conclut que $f$ est linéaire, c'est-à-dire $f\in\mathcal{L}(E,F)$ .

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Exercice d'exemple

Soit $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ définie par $f(x,y)=2x-3y$ . Montrer que $f$ est linéaire.

Étape 1 —

On vérifie que

f

est bien définie de

E

dans

F

: pour tout

x\in E

f(x)\in F

Pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ , $f(x,y)=2x-3y\in\mathbb{R}$ , donc $f$ est bien définie de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

On se donne

u,v\in E

\lambda\in\mathbb{R}

quelconques, puis on calcule

f(u+\lambda v)

en utilisant la définition de

f

Soient $u=(x_1,y_1)$ , $v=(x_2,y_2)$ dans $\mathbb{R}^2$ et $\lambda\in\mathbb{R}$ . Alors $u+\lambda v=(x_1+\lambda x_2,y_1+\lambda y_2)$ et $f(u+\lambda v)=2(x_1+\lambda x_2)-3(y_1+\lambda y_2)$ .

Étape 3 —

On développe en utilisant les opérations de

F

et on reconnaît

f(u)+\lambda f(v)

Je développe : $f(u+\lambda v)=(2x_1-3y_1)+\lambda(2x_2-3y_2)=f(u)+\lambda f(v)$ .

Étape 4 —

On conclut que

f

est linéaire, c'est-à-dire

f\in\mathcal{L}(E,F)

Donc $f$ est linéaire : $f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$ .

$f$ est une forme linéaire sur $\mathbb{R}^2$ .

Application guidée

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ fixée. Montrer que $\varphi\colon X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\mapsto AX$ est linéaire.

Application autonome 1

Soit $D\colon \mathbb{R}_n[X]\to\mathbb{R}_n[X]$ définie par $D(P)=P'$ . Montrer que $D$ est linéaire.

Application autonome 2

Soit $g\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ définie par $g(x,y)=x^2+y$ . Montrer que $g$ n'est PAS linéaire.

Application autonome 3

Soit $T\colon \mathbb{R}_n[X]\to \mathbb{R}_n[X]$ , $T(P)=P(X+1)-P(X)$ . Montrer que $T$ est linéaire.

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En vérifiant f(u+λv)=f(u)+λf(v)f(u+\lambda v)=f(u)+\lambda f(v)f(u+λv)=f(u)+λf(v) pour tous u,v,λu, v, \lambdau,v,λ

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En vérifiant $f(u+\lambda v)=f(u)+\lambda f(v)$ pour tous $u, v, \lambda$