Comment montrer qu'une… : En utilisant la stricte monotonie (cas… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une application est injective ?

En utilisant la stricte monotonie (cas réel)

Prouver l'injectivité d'une fonction réelle définie sur un intervalle en établissant sa stricte monotonie.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto e^x + x$ est injective.

L'objectif

Prouver l'injectivité d'une fonction réelle définie sur un intervalle en établissant sa stricte monotonie.

Le principe

Toute fonction $f \colon I \to \mathbb{R}$ strictement monotone sur un intervalle $I$ est injective, car $x \neq y$ implique $f(x) \neq f(y)$ .

La méthode

1
Je précise l'intervalle $I$ de définition et je vérifie que $f$ y est dérivable (ou directement étudiable).
2
J'étudie le signe de $f'$ sur $I$ : si $f'$ est strictement positive (resp. négative) sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante (resp. décroissante) sur $I$ .
3
Je conclus que $f$ est injective sur $I$ par stricte monotonie.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto e^x + x$ est injective.

Étape 1 —

Je précise l'intervalle

I

de définition et je vérifie que

f

y est dérivable (ou directement étudiable).

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme de fonctions dérivables.

Étape 2 —

J'étudie le signe de

f'

sur

I

: si

f'

est strictement positive (resp. négative) sur

I

, alors

f

est strictement croissante (resp. décroissante) sur

I

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f'(x) = e^x + 1 > 0$ , donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Étape 3 —

Je conclus que

f

est injective sur

I

par stricte monotonie.

$f$ étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , elle y est injective.

$f$ est injective.

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