Comment exploiter qu'une famille libre (ou génératrice) de cardinal $n$ dans un EV de dimension $n$ est une base ?

$\dim(\mathbb{R}^3)=3$ et $\mathrm{card}(\mathcal{F})=3$ : il suffit de vérifier une seule des deux propriétés.

Je vérifie que $\mathcal{F}$ est libre : si $a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)=(0,0,0)$ alors $(a+b,a+c,b+c)=(0,0,0)$, d'où $a+b=0$, $a+c=0$, $b+c=0$. En sommant : $2(a+b+c)=0$, donc $a+b+c=0$ puis $a=b=c=0$.

$\mathcal{F}$ est une famille libre de cardinal $3$ dans $\mathbb{R}^3$ de dimension $3$, donc $\mathcal{F}$ est une base de $\mathbb{R}^3$.