Comment exploiter qu'une… : En utilisant qu'en dimension n, libre… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment exploiter qu'une famille libre (ou génératrice) de cardinal $n$ dans un EV de dimension $n$ est une base ?

En utilisant qu'en dimension $n$ , libre de cardinal $n$ (ou génératrice de cardinal $n$ ) $\Rightarrow$ base

Prouver qu'une famille est une base sans vérifier les deux propriétés (libre ET génératrice), en utilisant la dimension connue de l'espace.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\mathcal{F}=((1,1,0),(1,0,1),(0,1,1))$ est une base de $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Prouver qu'une famille est une base sans vérifier les deux propriétés (libre ET génératrice), en utilisant la dimension connue de l'espace.

Le principe

Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$ , toute famille libre de cardinal $n$ est une base, et toute famille génératrice de cardinal $n$ est une base (résultat admis au BO).

La méthode

1
On connaît ou on détermine la dimension $n$ de $E$ , et on vérifie que la famille $\mathcal{F}=(v_1,\dots,v_n)$ proposée a exactement $n$ vecteurs.
Comment déterminer la dimension d'un espace vectoriel ?Voir
2
On choisit la propriété la plus commode à vérifier : soit on montre que $\mathcal{F}$ est libre (en résolvant $\sum \lambda_i v_i=0_E \Rightarrow \lambda_i=0$ ), soit on montre qu'elle est génératrice.
Comment montrer qu'une famille est libre ?Voir
3
On conclut que $\mathcal{F}$ est une base de $E$ grâce au théorème de caractérisation des bases en dimension $n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $\mathcal{F}=((1,1,0),(1,0,1),(0,1,1))$ est une base de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

On connaît ou on détermine la dimension

n

E

, et on vérifie que la famille

\mathcal{F}=(v_1,\dots,v_n)

proposée a exactement

n

vecteurs.

$\dim(\mathbb{R}^3)=3$ et $\mathrm{card}(\mathcal{F})=3$ : il suffit de vérifier une seule des deux propriétés.

Étape 2 —

On choisit la propriété la plus commode à vérifier : soit on montre que

\mathcal{F}

est libre (en résolvant

\sum \lambda_i v_i=0_E \Rightarrow \lambda_i=0

), soit on montre qu'elle est génératrice.

Je vérifie que $\mathcal{F}$ est libre : si $a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)=(0,0,0)$ alors $(a+b,a+c,b+c)=(0,0,0)$ , d'où $a+b=0$ , $a+c=0$ , $b+c=0$ . En sommant : $2(a+b+c)=0$ , donc $a+b+c=0$ puis $a=b=c=0$ .

Étape 3 —

On conclut que

\mathcal{F}

est une base de

E

grâce au théorème de caractérisation des bases en dimension

n

$\mathcal{F}$ est une famille libre de cardinal $3$ dans $\mathbb{R}^3$ de dimension $3$ , donc $\mathcal{F}$ est une base de $\mathbb{R}^3$ .

$\mathcal{F}$ est bien une base de $\mathbb{R}^3$ .

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Comment exploiter qu'une famille libre (ou génératrice) de cardinal nnn dans un EV de dimension nnn est une base ?

En utilisant qu'en dimension nnn, libre de cardinal nnn (ou génératrice de cardinal nnn) ⇒\Rightarrow⇒ base

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment exploiter qu'une famille libre (ou génératrice) de cardinal $n$ dans un EV de dimension $n$ est une base ?

En utilisant qu'en dimension $n$ , libre de cardinal $n$ (ou génératrice de cardinal $n$ ) $\Rightarrow$ base