En vérifiant la condition sur les coefficients ( $a_{ij}=0$ pour $i>j$ , $a_{ij}=a_{ji}$ , etc.)

Classer une matrice carrée parmi les matrices triangulaires supérieures, inférieures, diagonales, symétriques ou antisymétriques.

L'objectif

Classer une matrice carrée parmi les matrices triangulaires supérieures, inférieures, diagonales, symétriques ou antisymétriques.

Le principe

Pour $A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ : triangulaire supérieure si $a_{ij}=0$ pour $i>j$ , inférieure si $a_{ij}=0$ pour $i<j$ , diagonale si $a_{ij}=0$ pour $i\neq j$ , symétrique si $a_{ij}=a_{ji}$ , antisymétrique si $a_{ij}=-a_{ji}$ .

La méthode

1
Je vérifie d'abord que $A$ est carrée (sinon ces notions n'ont pas de sens).
2
J'examine les coefficients sous la diagonale : s'ils sont tous nuls, $A$ est triangulaire supérieure.
3
J'examine les coefficients au-dessus de la diagonale : si tous sont nuls aussi, $A$ est diagonale.
4
Sinon, je teste la condition $a_{ij}=a_{ji}$ (symétrie) ou $a_{ij}=-a_{ji}$ (antisymétrie, diagonale nulle).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Classer $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je vérifie d'abord que

A

est carrée (sinon ces notions n'ont pas de sens).

$A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ est bien carrée.

Étape 2 —

J'examine les coefficients sous la diagonale : s'ils sont tous nuls,

A

est triangulaire supérieure.

Les coefficients $a_{21}=a_{31}=a_{32}=0$ sont tous nuls : condition $a_{ij}=0$ pour $i>j$ vérifiée.

Étape 3 —

J'examine les coefficients au-dessus de la diagonale : si tous sont nuls aussi,

A

est diagonale.

En revanche $a_{12}=2\neq 0$ : $A$ n'est pas diagonale.

Étape 4 —

Sinon, je teste la condition

a_{ij}=a_{ji}

(symétrie) ou

a_{ij}=-a_{ji}

(antisymétrie, diagonale nulle).

La symétrie échoue ( $a_{12}\neq a_{21}$ ), donc $A$ est uniquement triangulaire supérieure.

$A$ est triangulaire supérieure, ni diagonale ni symétrique.

Application guidée

Classer $B=\begin{pmatrix}1&2&-1\\2&5&3\\-1&3&0\end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Classer $C=\begin{pmatrix}0&2&-3\\-2&0&1\\3&-1&0\end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Classer $A=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&5&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Classer $B=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&5&6&7\\0&0&8&9\\0&0&0&10\end{pmatrix}$ .

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En vérifiant la condition sur les coefficients (aij=0a_{ij}=0aij​=0 pour i>ji>ji>j, aij=ajia_{ij}=a_{ji}aij​=aji​, etc.)

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En vérifiant la condition sur les coefficients ( $a_{ij}=0$ pour $i>j$ , $a_{ij}=a_{ji}$ , etc.)