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Comment déterminer la borne supérieure ou inférieure d'une partie de R\mathbb{R} ?

En appliquant la caractérisation (plus petit majorant / approximation)

L'objectif

Déterminer et justifier la borne supérieure sup⁡A\sup A (ou inférieure inf⁡A\inf A) d'une partie non vide AA de R\mathbb{R}.

Le principe

M=sup⁡AM=\sup A si et seulement si MM est un majorant de AA et pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe x∈Ax \in A tel que M−ε<x≤MM-\varepsilon<x\leq M (caractérisation par approximation).

La méthode
  1. 1
    Je conjecture une valeur candidate MM pour sup⁡A\sup A (souvent le maximum si A est fini, ou une limite).
  2. 2
    Je vérifie que MM est un majorant de AA : ∀x∈A,x≤M\forall x \in A, x \leq M.
  3. 3
    Je montre que MM est le plus petit majorant : pour tout ε>0\varepsilon>0, j'exhibe un x∈Ax \in A tel que x>M−εx > M-\varepsilon.
  4. 4
    Je conclus que M=sup⁡AM=\sup A et précise si sup⁡A∈A\sup A \in A (alors c'est un maximum) ou non.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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