Comment déterminer la borne supérieure ou inférieure d'une partie de $\mathbb{R}$ ? | MetMat

Comment déterminer la borne supérieure ou inférieure d'une partie de $\mathbb{R}$ ?

En appliquant la caractérisation (plus petit majorant / approximation)

Déterminer et justifier la borne supérieure $\sup A$ (ou inférieure $\inf A$ ) d'une partie non vide $A$ de $\mathbb{R}$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A=\{1-\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}^*\}$ . Déterminer $\sup A$ et $\inf A$ .

L'objectif

Déterminer et justifier la borne supérieure $\sup A$ (ou inférieure $\inf A$ ) d'une partie non vide $A$ de $\mathbb{R}$ .

Le principe

$M=\sup A$ si et seulement si $M$ est un majorant de $A$ et pour tout $\varepsilon>0$ , il existe $x \in A$ tel que $M-\varepsilon<x\leq M$ (caractérisation par approximation).

La méthode

1
Je conjecture une valeur candidate $M$ pour $\sup A$ (souvent le maximum si A est fini, ou une limite).
2
Je vérifie que $M$ est un majorant de $A$ : $\forall x \in A, x \leq M$ .
3
Je montre que $M$ est le plus petit majorant : pour tout $\varepsilon>0$ , j'exhibe un $x \in A$ tel que $x > M-\varepsilon$ .
4
Je conclus que $M=\sup A$ et précise si $\sup A \in A$ (alors c'est un maximum) ou non.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $A=\{1-\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}^*\}$ . Déterminer $\sup A$ et $\inf A$ .

Étape 1 —

Je conjecture une valeur candidate

M

pour

\sup A

(souvent le maximum si A est fini, ou une limite).

Je conjecture $\sup A = 1$ (limite quand $n \to +\infty$ ) et $\inf A = 0$ (valeur pour $n=1$ ).

Étape 2 —

Je vérifie que

M

est un majorant de

A

\forall x \in A, x \leq M

Pour tout $n \geq 1$ , $\frac{1}{n}>0$ donc $1-\frac{1}{n}<1$ : $1$ est un majorant. De même, $\frac{1}{n}\leq 1$ donc $1-\frac{1}{n}\geq 0$ : $0$ est un minorant.

Étape 3 —

Je montre que

M

est le plus petit majorant : pour tout

\varepsilon>0

, j'exhibe un

x \in A

tel que

x > M-\varepsilon

Pour $\varepsilon>0$ , je choisis $n > \frac{1}{\varepsilon}$ : alors $1-\frac{1}{n}>1-\varepsilon$ (caractérisation de $\sup$ ). Pour $\inf$ , $0 \in A$ (pour $n=1$ ).

Étape 4 —

Je conclus que

M=\sup A

et précise si

\sup A \in A

(alors c'est un maximum) ou non.

Je conclus $\sup A = 1$ (non atteint, donc pas un maximum) et $\inf A = 0 = \min A$ .

$\sup A = 1$ , $\inf A = \min A = 0$ .

Application guidée

Soit $A=\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n, n \in \mathbb{N}\}$ . Déterminer $\sup A$ et $\inf A$ .

Application autonome 1

Soit $A=\{(-1)^n+\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}^*\}$ . Déterminer $\sup A$ .

Application autonome 2

Soit $A=\{\frac{n^2}{n^2+1}, n\in\mathbb{N}\}$ . Déterminer $\sup A$ et $\inf A$ .

Application autonome 3

Soit $A=\{\sin(1/n), n\in\mathbb{N}^*\}$ . Déterminer $\sup A$ et $\inf A$ .

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