Comment manipuler une double… : En permutant l'ordre (Fubini) ou en… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment manipuler une double somme ?

En permutant l'ordre (Fubini) ou en séparant en produit

Simplifier ou calculer une double somme finie en exploitant la structure du terme général et du domaine de sommation.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $S = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} ij$ .

L'objectif

Simplifier ou calculer une double somme finie en exploitant la structure du terme général et du domaine de sommation.

Le principe

Sur un rectangle, $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{i,j} = \sum_{j=1}^{m} \sum_{i=1}^{n} a_{i,j}$ , et si $a_{i,j} = b_i c_j$ , alors $\sum_{i,j} a_{i,j} = \left(\sum_i b_i\right)\left(\sum_j c_j\right)$ .

La méthode

1
J'identifie le domaine de sommation : rectangle $\{1, \ldots, n\} \times \{1, \ldots, m\}$ ou triangulaire $\{(i,j) : 1 \leq i \leq j \leq n\}$ .
2
Si $a_{i,j} = b_i c_j$ sur un rectangle, je sépare : $\sum_{i,j} b_i c_j = \left(\sum_i b_i\right)\left(\sum_j c_j\right)$ . Sinon je prépare une permutation d'ordre.
3
Sur un domaine triangulaire, je permute : $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_{i,j} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{j} a_{i,j}$ , en redessinant le domaine si besoin.
4
Je calcule chaque somme intérieure avec les formules classiques puis je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $S = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} ij$ .

Étape 1 —

J'identifie le domaine de sommation : rectangle

\{1, \ldots, n\} \times \{1, \ldots, m\}

ou triangulaire

\{(i,j) : 1 \leq i \leq j \leq n\}

Le domaine est le rectangle $\{1, \ldots, n\}^2$ .

Étape 2 —

a_{i,j} = b_i c_j

sur un rectangle, je sépare :

\sum_{i,j} b_i c_j = \left(\sum_i b_i\right)\left(\sum_j c_j\right)

. Sinon je prépare une permutation d'ordre.

Le terme général se sépare : $ij = b_i c_j$ avec $b_i = i$ et $c_j = j$ . Donc $S = \left(\sum_{i=1}^{n} i\right) \left(\sum_{j=1}^{n} j\right)$ .

Étape 3 —

Sur un domaine triangulaire, je permute :

\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_{i,j} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{j} a_{i,j}

, en redessinant le domaine si besoin.

Pas de permutation nécessaire.

Étape 4 —

Je calcule chaque somme intérieure avec les formules classiques puis je conclus.

$S = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ .

$S = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ .

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