Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ ?

En vérifiant f dérivable et f' continue

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x)=x\mathrm{e}^{-x}$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .

La méthode

1
Je montre que $f$ est dérivable sur $I$ et j'explicite $f'(x)$ pour tout $x\in I$ .
2
Je justifie que $f'$ est continue sur $I$ (composition/produit/quotient de fonctions continues).
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
3
Je conclus que $f\in\mathcal{C}^1(I)$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que $f(x)=x\mathrm{e}^{-x}$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .

1

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit ; $f'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{-x}$ .

2

$x\mapsto(1-x)\mathrm{e}^{-x}$ est produit de fonctions continues sur $\mathbb{R}$ , donc $f'$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

3

$f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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