En vérifiant f dérivable et f' continue

Prouver qu'une fonction est $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle en revenant à la définition.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x)=x\mathrm{e}^{-x}$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Prouver qu'une fonction est $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle en revenant à la définition.

Le principe

$f\in\mathcal{C}^1(I)$ ssi $f$ est dérivable sur $I$ et $f'$ est continue sur $I$ .

La méthode

1
Je montre que $f$ est dérivable sur $I$ et j'explicite $f'(x)$ pour tout $x\in I$ .
2
Je justifie que $f'$ est continue sur $I$ (composition/produit/quotient de fonctions continues).
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
3
Je conclus que $f\in\mathcal{C}^1(I)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f(x)=x\mathrm{e}^{-x}$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je montre que

f

est dérivable sur

I

et j'explicite

f'(x)

pour tout

x\in I

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit ; $f'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{-x}$ .

Étape 2 —

Je justifie que

f'

est continue sur

I

(composition/produit/quotient de fonctions continues).

$x\mapsto(1-x)\mathrm{e}^{-x}$ est produit de fonctions continues sur $\mathbb{R}$ , donc $f'$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Étape 3 —

Je conclus que

f\in\mathcal{C}^1(I)

$f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$ .

Application guidée

Montrer que $g(x)=\sqrt{1+x^2}$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Montrer que $h(x)=\ln(1+x^2)$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Montrer que $k(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^x+1}$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Montrer que $f(x)=x\sqrt{x}$ est $\mathcal{C}^1$ sur $]0,+\infty[$ .

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