Comment déterminer un point d'inflexion ?

En trouvant $x_0$ où $f''$ change de signe

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer les points d'inflexion de $f\colon x\mapsto x^3$ sur $\mathbb{R}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur l'intervalle $I$ et je calcule $f''(x)$ .
2
Je résous $f''(x)=0$ et j'établis le tableau de signes de $f''$ sur $I$ .
3
Pour chaque racine $x_0$ de $f''$ , je vérifie que $f''$ change effectivement de signe en $x_0$ : c'est un point d'inflexion ; sinon ce n'en est pas un.
4
Je conclus en donnant la liste des points d'inflexion et j'écris la tangente en ce point pour l'allure du graphe.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Déterminer les points d'inflexion de $f\colon x\mapsto x^3$ sur $\mathbb{R}$ .

1

$f$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ ; $f'(x)=3x^2$ , $f''(x)=6x$ .

2

$f''(x)=0 \iff x=0$ .

3

$f''$ change de signe en $0$ (passe de négatif à positif) : $0$ est un point d'inflexion.

4

Tangente en $0$ : $y=0$ ; la courbe traverse sa tangente.

Unique point d'inflexion : $x_0=0$ , de tangente horizontale $y=0$ .

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Comment déterminer un point d'inflexion ?

En trouvant x0x_0x0​ où f′′f''f′′ change de signe

Pour comprendre, passons aux exercices.

En trouvant $x_0$ où $f''$ change de signe