Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ? | MetMat

Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?

En vérifiant $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$

Prouver la continuité de $f$ en un point $a$ en vérifiant l'égalité $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ , notamment pour une fonction définie par morceaux.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ pour $x\neq 1$ et $f(1)=2$ . Montrer que $f$ est continue en $1$ .

L'objectif

Prouver la continuité de $f$ en un point $a$ en vérifiant l'égalité $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ , notamment pour une fonction définie par morceaux.

Le principe

Une fonction $f$ définie sur $I$ est continue en $a\in I$ si et seulement si $\lim_{x\to a} f(x)$ existe et vaut $f(a)$ (avec éventuellement les deux limites latérales pour une fonction définie par morceaux).

La méthode

1
Je repère le point $a$ où j'étudie la continuité (souvent un point de raccord d'une fonction par morceaux) et je calcule $f(a)$ .
2
Je calcule $\lim_{x\to a^-} f(x)$ et $\lim_{x\to a^+} f(x)$ en utilisant l'expression de $f$ à gauche et à droite de $a$ .
3
Je vérifie l'égalité $\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a)$ .
4
Je conclus que $f$ est continue en $a$ (ou non, selon l'égalité).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ pour $x\neq 1$ et $f(1)=2$ . Montrer que $f$ est continue en $1$ .

Étape 1 —

Je repère le point

a

où j'étudie la continuité (souvent un point de raccord d'une fonction par morceaux) et je calcule

f(a)

Je pose $a=1$ et je note $f(1)=2$ par définition.

Étape 2 —

Je calcule

\lim_{x\to a^-} f(x)

\lim_{x\to a^+} f(x)

en utilisant l'expression de

f

à gauche et à droite de

a

Pour $x\neq 1$ , $f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ , donc $\lim_{x\to 1} f(x)=2$ (limite unique à gauche et à droite).

Étape 3 —

Je vérifie l'égalité

\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a)

Je compare : $\lim_{x\to 1} f(x)=2=f(1)$ , l'égalité est vérifiée.

Étape 4 —

Je conclus que

f

est continue en

a

(ou non, selon l'égalité).

Je conclus que $f$ est continue en $1$ .

$f$ est continue en $1$ .

Application guidée

Soit $f(x)=\begin{cases}x^2 & \text{si } x\leq 1\\ 2x-1 & \text{si } x>1\end{cases}$ . Étudier la continuité en $1$ .

Application autonome 1

Soit $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin(x)}{x} & \text{si } x\neq 0\\ 1 & \text{si } x=0\end{cases}$ . Montrer que $f$ est continue en $0$ (on admet $\lim_{x\to 0}\sin(x)/x=1$ ).

Application autonome 2

Soit $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x}&\text{si }x\neq 0\\ 1&\text{si }x=0\end{cases}$ . Montrer que $f$ est continue en $0$ .

Application autonome 3

Soit $f(x)=\begin{cases}ax+b&\text{si }x\leq 1\\ x^2+1&\text{si }x>1\end{cases}$ . Déterminer $a,b\in\mathbb{R}$ pour que $f$ soit continue sur $\mathbb{R}$ et telle que $f(0)=0$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a} f(x)=f(a)limx→a​f(x)=f(a)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$