En développant $(a+b)^n = \sum \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$

Développer une expression $(a+b)^n$ ou reconnaître une somme comme cas particulier du binôme de Newton.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Développer $(x+2)^4$ .

L'objectif

Développer une expression $(a+b)^n$ ou reconnaître une somme comme cas particulier du binôme de Newton.

Le principe

Pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ (ou plus généralement commutant) et $n \in \mathbb{N}$ , $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$ .

La méthode

1
J'identifie $a$ , $b$ et $n$ dans l'expression, ou j'essaie de reconnaître une somme $\sum \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$ .
2
Je pose la formule : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$ .
3
Je développe ou je factorise selon le sens d'application (développement direct ou reconnaissance inverse).
4
Je simplifie et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Développer $(x+2)^4$ .

Étape 1 —

J'identifie

a

b

n

dans l'expression, ou j'essaie de reconnaître une somme

\sum \binom{n}{k} a^k b^{n-k}

J'identifie $a = x$ , $b = 2$ , $n = 4$ .

Étape 2 —

Je pose la formule :

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}

$(x+2)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^k \cdot 2^{4-k}$ .

Étape 3 —

Je développe ou je factorise selon le sens d'application (développement direct ou reconnaissance inverse).

Je développe avec $\binom{4}{0}=1, \binom{4}{1}=4, \binom{4}{2}=6, \binom{4}{3}=4, \binom{4}{4}=1$ : $(x+2)^4 = 16 + 32x + 24x^2 + 8x^3 + x^4$ .

Étape 4 —

Je simplifie et je conclus.

Donc $(x+2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$ .

$(x+2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$ .

Application guidée

Calculer $S = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ .

Application autonome 1

Calculer $S = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k}$ pour $n \geq 1$ .

Application autonome 2

Calculer $S = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 3^k$ .

Application autonome 3

Calculer $S=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^k$ .

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