En supposant la négation et en dégageant une contradiction

Prouver une proposition $P$ en montrant que $\neg P$ conduit à une contradiction.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

L'objectif

Prouver une proposition $P$ en montrant que $\neg P$ conduit à une contradiction.

Le principe

Par tiers exclu, une proposition $P$ est soit vraie soit fausse ; si supposer $\neg P$ mène à une absurdité, alors $\neg P$ est fausse, donc $P$ est vraie.

La méthode

1
J'écris explicitement la négation $\neg P$ de la proposition à démontrer.
2
J'annonce : « Raisonnons par l'absurde et supposons $\neg P$ . »
3
Je déduis de $\neg P$ une contradiction (deux propositions incompatibles, ou une contradiction avec une hypothèse ou un résultat connu).
4
Je conclus : « L'hypothèse $\neg P$ est donc fausse, donc $P$ est vraie. »

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Exercice d'exemple

Montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Étape 1 —

J'écris explicitement la négation

\neg P

de la proposition à démontrer.

$\neg P$ : $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ , donc il existe $p,q \in \mathbb{Z}$ avec $q \neq 0$ , $\mathrm{pgcd}(p,q)=1$ et $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ .

Étape 2 —

J'annonce : « Raisonnons par l'absurde et supposons

\neg P

. »

Raisonnons par l'absurde et supposons cette écriture possible.

Étape 3 —

Je déduis de

\neg P

une contradiction (deux propositions incompatibles, ou une contradiction avec une hypothèse ou un résultat connu).

Alors $p^2 = 2q^2$ , donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair, $p = 2k$ ; alors $4k^2 = 2q^2$ donne $q^2 = 2k^2$ donc $q$ pair, contradiction avec $\mathrm{pgcd}(p,q) = 1$ .

Étape 4 —

Je conclus : « L'hypothèse

\neg P

est donc fausse, donc

P

est vraie. »

L'hypothèse est absurde, donc $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ .

$\sqrt{2}$ est irrationnel.

Application guidée

Montrer qu'il n'existe pas d'entier $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $0 < n < 1$ .

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ une suite réelle convergeant vers $\ell \in \mathbb{R}$ . Montrer que la limite est unique.

Application autonome 2

Montrer qu'il n'existe pas de plus grand entier naturel.

Application autonome 3

Soient $x,y\in\mathbb{R}$ . Montrer que si $x+y>0$ , alors $x>0$ ou $y>0$ .

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