Comment déterminer la loi d'une… : En identifiant X(Omega) et P(X=k) via… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment déterminer la loi d'une VAR finie ?

En identifiant $X(\Omega)$ et $P(X=k)$ via un SCE

Déterminer $X(\Omega)$ et les valeurs $P(X=k)$ pour tout $k\in X(\Omega)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance deux dés équilibrés à 6 faces et on note $X$ la somme des deux résultats. Déterminer la loi de $X$ .

L'objectif

Déterminer $X(\Omega)$ et les valeurs $P(X=k)$ pour tout $k\in X(\Omega)$ .

Le principe

La loi de $X$ est entièrement caractérisée par l'ensemble $X(\Omega)$ et par la donnée des probabilités $P(X=k)$ pour $k\in X(\Omega)$ , qui vérifient $\sum_{k\in X(\Omega)} P(X=k)=1$ .

La méthode

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Je décris l'expérience aléatoire sous-jacente et je détermine l'ensemble $X(\Omega)$ des valeurs prises par $X$ .
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Pour chaque $k\in X(\Omega)$ , je calcule $P(X=k)$ en décrivant l'événement $[X=k]$ à l'aide d'un SCE adapté (dénombrement, probabilités totales, indépendance).
Comment appliquer la formule des probabilités totales ?Voir
3
Je vérifie la cohérence en contrôlant que $\sum_{k\in X(\Omega)} P(X=k)=1$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On lance deux dés équilibrés à 6 faces et on note $X$ la somme des deux résultats. Déterminer la loi de $X$ .

Étape 1 —

Je décris l'expérience aléatoire sous-jacente et je détermine l'ensemble

X(\Omega)

des valeurs prises par

X

L'expérience donne un couple $(d_1,d_2)\in[\![1,6]\!]^2$ équiprobable. La somme $X=d_1+d_2$ prend donc les valeurs $X(\Omega)=[\![2,12]\!]$ .

Étape 2 —

Pour chaque

k\in X(\Omega)

, je calcule

P(X=k)

en décrivant l'événement

[X=k]

à l'aide d'un SCE adapté (dénombrement, probabilités totales, indépendance).

Pour $k\in[\![2,12]\!]$ , $P(X=k)=\frac{\mathrm{Card}\{(i,j)\in[\![1,6]\!]^2,\ i+j=k\}}{36}$ . On obtient $P(X=2)=\frac{1}{36}$ , $P(X=3)=\frac{2}{36}$ , ..., $P(X=7)=\frac{6}{36}$ , ..., $P(X=12)=\frac{1}{36}$ .

Étape 3 —

Je vérifie la cohérence en contrôlant que

\sum_{k\in X(\Omega)} P(X=k)=1

La somme vaut $\frac{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36}=\frac{36}{36}=1$ , donc la loi est bien définie.

$X(\Omega)=[\![2,12]\!]$ et $P(X=k)=\frac{6-|k-7|}{36}$ .

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Comment déterminer la loi d'une VAR finie ?

En identifiant X(Ω)X(\Omega)X(Ω) et P(X=k)P(X=k)P(X=k) via un SCE

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant $X(\Omega)$ et $P(X=k)$ via un SCE