En appliquant $\sum q^k=1/(1-q)$ , $\sum k q^{k-1}=1/(1-q)^2$ , etc. pour $|q|<1$

L'objectif

Calculer explicitement la somme d'une série géométrique ou de ses deux premières dérivées lorsque $|q|<1$ .

Le principe

Pour $|q|<1$ : $\sum_{k=0}^{+\infty} q^k=\dfrac{1}{1-q}$ , $\sum_{k=1}^{+\infty} k\,q^{k-1}=\dfrac{1}{(1-q)^2}$ , $\sum_{k=2}^{+\infty} k(k-1)q^{k-2}=\dfrac{2}{(1-q)^3}$ .

La méthode

1
J'identifie la raison $q$ et je vérifie $|q|<1$ pour assurer la convergence.
2
Je reconnais la forme : simple $q^k$ , dérivée première $k q^{k-1}$ , ou dérivée seconde $k(k-1) q^{k-2}$ .
3
J'applique la formule correspondante et je simplifie, en ajustant éventuellement les bornes ou l'indice.
4
Je conclus par la valeur explicite de la somme.

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Application guidée 1

Calculer $S=\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^k$ .

Application guidée 2

Calculer $S=\sum_{k=1}^{+\infty} k\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k-1}$ .

Application autonome 1

Calculer $S=\sum_{k=0}^{+\infty} k\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^k$ .

Application autonome 2

Calculer $S=\sum_{k=2}^{+\infty} k(k-1)\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-2}$ .

Application autonome 3

Calculer $S=\sum_{k=0}^{+\infty}(k+1)\left(\dfrac{2}{5}\right)^k$ .

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En appliquant ∑qk=1/(1−q)\sum q^k=1/(1-q)∑qk=1/(1−q), ∑kqk−1=1/(1−q)2\sum k q^{k-1}=1/(1-q)^2∑kqk−1=1/(1−q)2, etc. pour ∣q∣<1|q|<1∣q∣<1

Évalue la méthode

En appliquant $\sum q^k=1/(1-q)$ , $\sum k q^{k-1}=1/(1-q)^2$ , etc. pour $|q|<1$