En majorant $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ avec $k=\sup|f'|$

Obtenir une majoration de $|f(b)-f(a)|$ en fonction de $|b-a|$ via un contrôle global de $|f'|$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\sin$ est $1$ -lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Obtenir une majoration de $|f(b)-f(a)|$ en fonction de $|b-a|$ via un contrôle global de $|f'|$ .

Le principe

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est dérivable (ou $\mathcal{C}^1$ ) sur l'intervalle $I$ contenant $a$ et $b$ .
2
Je cherche $k\geq 0$ tel que $|f'(x)|\leq k$ pour tout $x\in I$ (en étudiant les variations de $|f'|$ ou en majorant brutalement).
3
J'applique l'IAF : $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ , puis j'exploite cette majoration selon le contexte (convergence, lipschitzianité, récurrence).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $\sin$ est $1$ -lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est dérivable (ou

\mathcal{C}^1

) sur l'intervalle

I

contenant

a

b

$\sin$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée $\cos$ .

Étape 2 —

Je cherche

k\geq 0

tel que

|f'(x)|\leq k

pour tout

x\in I

(en étudiant les variations de

|f'|

ou en majorant brutalement).

$|\cos(x)|\leq 1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ , donc on peut prendre $k=1$ .

Étape 3 —

J'applique l'IAF :

|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|

, puis j'exploite cette majoration selon le contexte (convergence, lipschitzianité, récurrence).

Par IAF, $|\sin(b)-\sin(a)|\leq 1\cdot|b-a|=|b-a|$ .

$\sin$ est $1$ -lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ .

Application guidée

Montrer que pour $x>0$ , $\dfrac{x}{1+x}\leq\ln(1+x)\leq x$ .

Application autonome 1

Soit $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ dérivable avec $|f'|\leq 2$ . Montrer que $|f(1)-f(0)|\leq 2$ .

Application autonome 2

Montrer que $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$ est $1$ -lipschitzienne sur $[0,+\infty[$ .

Application autonome 3

Montrer que pour tous $x,y\in\mathbb{R}$ , $|\arctan(x)-\arctan(y)|\leq|x-y|$ .

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