Comment montrer l'égalité de… : En raisonnant par équivalence sur… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer l'égalité de deux ensembles ?

En raisonnant par équivalence sur l'appartenance

Prouver l'égalité de deux ensembles par une chaîne d'équivalences entre appartenances.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $E$ un ensemble et $A, B, C \subset E$ . Montrer que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

L'objectif

Prouver l'égalité de deux ensembles par une chaîne d'équivalences entre appartenances.

Le principe

On a $A = B \Leftrightarrow \forall x,\ (x \in A \Leftrightarrow x \in B)$ ; on traduit les deux appartenances puis on relie les propositions par $\Leftrightarrow$ .

La méthode

1
Je fixe $x$ quelconque et je pars de $x \in A$ .
2
Je traduis $x \in A$ par sa caractérisation logique (conjonction, disjonction, quantificateur, etc.).
3
J'utilise les règles de logique (distributivité, négation, De Morgan) pour transformer la proposition en la caractérisation de $x \in B$ , en justifiant chaque équivalence.
4
J'en déduis $\forall x,\ x \in A \Leftrightarrow x \in B$ , donc $A = B$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soient $E$ un ensemble et $A, B, C \subset E$ . Montrer que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

Étape 1 —

Je fixe

x

quelconque et je pars de

x \in A

Soit $x \in E$ quelconque ; on étudie $x \in A \cap (B \cup C)$ .

Étape 2 —

Je traduis

x \in A

par sa caractérisation logique (conjonction, disjonction, quantificateur, etc.).

$x \in A \cap (B \cup C) \Leftrightarrow (x \in A) \wedge (x \in B \vee x \in C)$ .

Étape 3 —

J'utilise les règles de logique (distributivité, négation, De Morgan) pour transformer la proposition en la caractérisation de

x \in B

, en justifiant chaque équivalence.

Par distributivité de $\wedge$ sur $\vee$ : $\Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in B) \vee (x \in A \wedge x \in C) \Leftrightarrow x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

Étape 4 —

J'en déduis

\forall x,\ x \in A \Leftrightarrow x \in B

, donc

A = B

On a $\forall x,\ x \in A \cap (B \cup C) \Leftrightarrow x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ , donc les deux ensembles sont égaux.

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

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