En appliquant les règles d'opérations et la composition

Déterminer $\lim_{x\to a} f(x)$ en décomposant $f$ en fonctions usuelles et en appliquant les théorèmes d'opérations.

L'objectif

Déterminer $\lim_{x\to a} f(x)$ en décomposant $f$ en fonctions usuelles et en appliquant les théorèmes d'opérations.

Le principe

Si $f$ et $g$ admettent des limites en $a$ , alors $f+g$ , $fg$ , $f/g$ (sous réserve) et $g\circ f$ admettent des limites, calculables à l'aide des tableaux d'opérations.

La méthode

1
Je repère le point $a$ (fini ou $\pm\infty$ ) où je cherche la limite et je décompose $f$ en fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme, puissances).
2
Je calcule la limite de chaque morceau en $a$ à l'aide des limites de référence.
3
J'applique les règles d'opérations (somme, produit, quotient, composition) en vérifiant l'absence de forme indéterminée.
Comment lever une forme indéterminée ?Voir
4
Je conclus en donnant la valeur ou le signe de la limite.

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x\to +\infty} \dfrac{3x+1}{x^2+2}$ .

Étape 1 —

Je repère le point

a

(fini ou

\pm\infty

) où je cherche la limite et je décompose

f

en fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme, puissances).

Je pose $f(x)=\dfrac{3x+1}{x^2+2}$ , j'étudie la limite en $+\infty$ et j'identifie numérateur et dénominateur comme des polynômes.

Étape 2 —

Je calcule la limite de chaque morceau en

a

à l'aide des limites de référence.

Je calcule $\lim_{x\to+\infty}(3x+1)=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}(x^2+2)=+\infty$ .

Étape 3 —

J'applique les règles d'opérations (somme, produit, quotient, composition) en vérifiant l'absence de forme indéterminée.

J'obtiens la forme $\frac{\infty}{\infty}$ : je factorise par le terme dominant $f(x)=\dfrac{x(3+1/x)}{x^2(1+2/x^2)}=\dfrac{3+1/x}{x(1+2/x^2)}$ , puis $\lim_{x\to+\infty}(3+1/x)=3$ et $\lim_{x\to+\infty} x(1+2/x^2)=+\infty$ .

Étape 4 —

Je conclus en donnant la valeur ou le signe de la limite.

Je conclus $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$ .

$\lim_{x\to+\infty} \dfrac{3x+1}{x^2+2}=0$ .

Application guidée

Calculer $\lim_{x\to 0} (x+1)\,\mathrm{e}^{x}$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x\to +\infty} \ln(x^2+1)$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}$ .

Application autonome 3

Calculer $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$ .

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