Comment calculer une somme arithmétique ou géométrique ?

En appliquant les formules $\sum k = n(n+1)/2$ et $\sum q^k$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $S = \sum_{k=3}^{n} k$ pour $n \geq 3$ .

La méthode

1
J'identifie la nature de la somme : arithmétique (terme général linéaire en $k$ ) ou géométrique (terme général en $q^k$ ).
2
Je ramène les bornes à la forme standard $k=0$ ou $k=1$ par un changement d'indice si nécessaire.
3
J'applique la formule : $\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ ou $\sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q \neq 1$ .
4
Je simplifie l'expression obtenue et je conclus.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer $S = \sum_{k=3}^{n} k$ pour $n \geq 3$ .

1

Il s'agit d'une somme arithmétique de terme général $k$ .

2

J'écris $S = \sum_{k=0}^{n} k - \sum_{k=0}^{2} k = \sum_{k=0}^{n} k - 3$ .

3

J'applique la formule : $\sum_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

4

Donc $S = \dfrac{n(n+1)}{2} - 3 = \dfrac{n^2 + n - 6}{2} = \dfrac{(n-2)(n+3)}{2}$ .

$S = \dfrac{(n-2)(n+3)}{2}$ .

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Comment calculer une somme arithmétique ou géométrique ?

En appliquant les formules ∑k=n(n+1)/2\sum k = n(n+1)/2∑k=n(n+1)/2 et ∑qk\sum q^k∑qk

Pour comprendre, passons aux exercices.

En appliquant les formules $\sum k = n(n+1)/2$ et $\sum q^k$