Comment déterminer le… : En décrivant les combinaisons linéaires… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment déterminer le sous-espace engendré par une famille finie ?

En décrivant les combinaisons linéaires de la famille

Décrire le sous-espace $\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ de manière exploitable.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer $\mathrm{Vect}((1, 0, 1), (0, 1, 1))$ dans $\mathbb{R}^3$ par une équation cartésienne.

L'objectif

Décrire le sous-espace $\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ de manière exploitable.

Le principe

Par définition, $\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_n) = \{\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n \mid (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n\}$ ; on peut en donner une description paramétrique ou l'exprimer par des équations reliant les coordonnées.

La méthode

1
J'écris un élément générique $x = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n$ avec $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n$ .
2
Je calcule les coordonnées de $x$ en fonction des $\lambda_i$ .
3
Soit je donne la description paramétrique obtenue, soit j'élimine les $\lambda_i$ pour obtenir une ou plusieurs équations cartésiennes caractérisant $\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ .
4
Je conclus en donnant la description explicite du sous-espace engendré.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer $\mathrm{Vect}((1, 0, 1), (0, 1, 1))$ dans $\mathbb{R}^3$ par une équation cartésienne.

Étape 1 —

J'écris un élément générique

x = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n

avec

(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n

Un élément $u$ du Vect s'écrit $u = \lambda(1, 0, 1) + \mu(0, 1, 1)$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Je calcule les coordonnées de

x

en fonction des

\lambda_i

On obtient $u = (\lambda, \mu, \lambda + \mu)$ , donc $x = \lambda$ , $y = \mu$ , $z = \lambda + \mu$ .

Étape 3 —

Soit je donne la description paramétrique obtenue, soit j'élimine les

\lambda_i

pour obtenir une ou plusieurs équations cartésiennes caractérisant

\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_n)

On élimine $\lambda$ et $\mu$ : $z = x + y$ , soit $x + y - z = 0$ .

Étape 4 —

Je conclus en donnant la description explicite du sous-espace engendré.

Donc $\mathrm{Vect}((1, 0, 1), (0, 1, 1)) = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 0\}$ .

$\mathrm{Vect}((1, 0, 1), (0, 1, 1)) = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 0\}$ .

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