Comment calculer la dérivée… : En appliquant (uv)^ (n) =sum_ k=0 ^n… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment calculer la dérivée $n$ -ième d'un produit (formule de Leibniz) ?

En appliquant $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

Obtenir une expression close de $(uv)^{(n)}(x)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \colon x \mapsto x^2 \mathrm{e}^x$ . Calculer $f^{(n)}(x)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ et tout $x\in\mathbb{R}$ .

L'objectif

Obtenir une expression close de $(uv)^{(n)}(x)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Le principe

Si $u$ et $v$ sont $n$ fois dérivables sur $I$ , alors $(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\, u^{(k)}\, v^{(n-k)}$ .

La méthode

1
On vérifie que $u$ et $v$ sont $n$ fois dérivables sur l'intervalle $I$ considéré (en pratique, le plus souvent de classe $\mathcal{C}^\infty$ ).
2
On choisit judicieusement quel facteur est $u$ et quel facteur est $v$ : en général, le facteur dont les dérivées s'annulent à partir d'un certain rang (polynôme) ou se calculent simplement (exponentielle, $\sin$ , $\cos$ ) est placé de façon à simplifier la somme.
3
On calcule les dérivées successives $u^{(k)}$ et $v^{(n-k)}$ sous forme close (par récurrence ou en reconnaissant un motif).
4
On écrit la formule de Leibniz $(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$ , puis on supprime les termes nuls et on simplifie la somme.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $f \colon x \mapsto x^2 \mathrm{e}^x$ . Calculer $f^{(n)}(x)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ et tout $x\in\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

On vérifie que

u

v

sont

n

fois dérivables sur l'intervalle

I

considéré (en pratique, le plus souvent de classe

\mathcal{C}^\infty

$u \colon x\mapsto x^2$ et $v \colon x\mapsto \mathrm{e}^x$ sont de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ , donc $n$ fois dérivables pour tout $n$ .

Étape 2 —

On choisit judicieusement quel facteur est

u

et quel facteur est

v

: en général, le facteur dont les dérivées s'annulent à partir d'un certain rang (polynôme) ou se calculent simplement (exponentielle,

\sin

\cos

) est placé de façon à simplifier la somme.

Je choisis $u(x)=x^2$ car $u^{(k)}=0$ dès que $k\geq 3$ , ce qui tronque la somme, et $v(x)=\mathrm{e}^x$ dont toutes les dérivées sont simples.

Étape 3 —

On calcule les dérivées successives

u^{(k)}

v^{(n-k)}

sous forme close (par récurrence ou en reconnaissant un motif).

$u(x)=x^2$ , $u'(x)=2x$ , $u''(x)=2$ , $u^{(k)}(x)=0$ pour $k\geq 3$ ; et pour tout $j\geq 0$ , $v^{(j)}(x)=\mathrm{e}^x$ .

Étape 4 —

On écrit la formule de Leibniz

(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}

, puis on supprime les termes nuls et on simplifie la somme.

Donc $f^{(n)}(x) = \binom{n}{0}x^2\mathrm{e}^x + \binom{n}{1}(2x)\mathrm{e}^x + \binom{n}{2}(2)\mathrm{e}^x = \bigl(x^2 + 2nx + n(n-1)\bigr)\mathrm{e}^x$ pour tout $n\geq 2$ .

$\forall n\geq 2,\ f^{(n)}(x) = \bigl(x^2 + 2nx + n(n-1)\bigr)\mathrm{e}^x$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer la dérivée nnn-ième d'un produit (formule de Leibniz) ?

En appliquant (uv)(n)=∑k=0n(nk)u(k)v(n−k)(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}(uv)(n)=∑k=0n​(kn​)u(k)v(n−k)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer la dérivée $n$ -ième d'un produit (formule de Leibniz) ?

En appliquant $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$