En reconnaissant une indicatrice / deux issues de paramètre $p$

L'objectif

Reconnaître qu'une VAR suit une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ et en déduire ses caractéristiques.

Le principe

Une VAR $X$ suit $\mathcal{B}(p)$ ssi $X(\Omega)=\{0,1\}$ avec $P(X=1)=p$ et $P(X=0)=1-p$ ; alors $E(X)=p$ et $V(X)=p(1-p)$ . L'indicatrice $1_A$ d'un événement $A$ suit $\mathcal{B}(P(A))$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X$ ne prend que deux valeurs, que j'identifie au $0$ (échec) et au $1$ (succès) : $X=1_A$ où $A$ est l'événement 'succès'.
2
Je détermine le paramètre $p=P(X=1)=P(A)$ .
3
Je conclus $X\hookrightarrow\mathcal{B}(p)$ et j'applique $E(X)=p$ , $V(X)=p(1-p)$ .

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Application guidée 1

On lance un dé équilibré à 6 faces et on note $X=1$ si le résultat est pair, $0$ sinon. Donner la loi, l'espérance et la variance de $X$ .

Application guidée 2

Une urne contient 10 boules dont 3 rouges. On tire une boule au hasard et on pose $X=1$ si elle est rouge, $0$ sinon. Déterminer la loi de $X$ .

Application autonome 1

On tire une carte dans un jeu de 32 cartes et on note $X=1$ si c'est un as, $0$ sinon. Déterminer la loi de $X$ .

Application autonome 2

Un examen comporte une question à $5$ choix, un seul correct. Un étudiant répond au hasard. Soit $X=1$ si la réponse est correcte, $0$ sinon. Donner la loi, l'espérance et la variance de $X$ .

Application autonome 3

On interroge un électeur au hasard. Soit $X=1$ s'il a voté au dernier scrutin, $0$ sinon. Sachant que la participation a été de $45{,}7\%$ , donner la loi, $E(X)$ et $V(X)$ .

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