Comment appliquer la formule… : En appliquant P(A_1cap…cap… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment appliquer la formule des probabilités composées ?

En appliquant $P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\dots$

Calculer la probabilité d'une intersection d'événements (chaîne d'étapes).

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une urne contient 4 boules rouges et 2 noires. On tire 3 boules successivement sans remise. Probabilité de tirer 3 rouges ?

L'objectif

Calculer la probabilité d'une intersection d'événements (chaîne d'étapes).

Le principe

Si $P(A_1\cap\dots\cap A_{n-1})\ne 0$ , alors $P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)\,P_{A_1}(A_2)\,P_{A_1\cap A_2}(A_3)\cdots P_{A_1\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)$ .

La méthode

1
J'identifie les $n$ événements successifs $A_1,\dots,A_n$ correspondant aux étapes de l'expérience.
2
Je vérifie que $P(A_1\cap\dots\cap A_{n-1})\ne 0$ (condition d'existence).
3
Je calcule les probabilités conditionnelles à chaque niveau de l'arbre : $P(A_1)$ , $P_{A_1}(A_2)$ , $P_{A_1\cap A_2}(A_3)$ , …
4
Je multiplie toutes ces probabilités pour obtenir $P(A_1\cap\dots\cap A_n)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Une urne contient 4 boules rouges et 2 noires. On tire 3 boules successivement sans remise. Probabilité de tirer 3 rouges ?

Étape 1 —

J'identifie les

n

événements successifs

A_1,\dots,A_n

correspondant aux étapes de l'expérience.

$R_i$ = « $i$ -ème boule rouge » pour $i\in\{1,2,3\}$ .

Étape 2 —

Je vérifie que

P(A_1\cap\dots\cap A_{n-1})\ne 0

(condition d'existence).

$P(R_1)=4/6>0$ et $P(R_1\cap R_2)=\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{3}{5}>0$ : conditions satisfaites.

Étape 3 —

Je calcule les probabilités conditionnelles à chaque niveau de l'arbre :

P(A_1)

P_{A_1}(A_2)

P_{A_1\cap A_2}(A_3)

, …

$P(R_1)=4/6$ , $P_{R_1}(R_2)=3/5$ , $P_{R_1\cap R_2}(R_3)=2/4$ .

Étape 4 —

Je multiplie toutes ces probabilités pour obtenir

P(A_1\cap\dots\cap A_n)

$P(R_1\cap R_2\cap R_3)=\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{4}=\dfrac{24}{120}=\dfrac{1}{5}$ .

$P(\text{3 rouges})=\dfrac{1}{5}$ .

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Comment appliquer la formule des probabilités composées ?

En appliquant P(A1∩⋯∩An)=P(A1)PA1(A2)…P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\dotsP(A1​∩⋯∩An​)=P(A1​)PA1​​(A2​)…

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\dots$