Comment appliquer la loi faible… : En appliquant lim P(|bar X_n - m|≥… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment appliquer la loi faible des grands nombres ?

En appliquant $\lim P(|\bar X_n - m|\geq \varepsilon)=0$ pour $(X_i)$ iid admettant espérance m et variance

Justifier la convergence en probabilité de la moyenne empirique $\bar X_n$ vers l'espérance commune $m$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $(X_i)_{i\geq 1}$ iid suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p\in ]0,1[$ . Montrer que $\bar X_n=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ converge en probabilité vers $p$ .

L'objectif

Justifier la convergence en probabilité de la moyenne empirique $\bar X_n$ vers l'espérance commune $m$ .

Le principe

Si $(X_n)$ est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi admettant une espérance $m$ et une variance, alors pour tout $\varepsilon>0$ : $\lim_{n\to+\infty} P(|\bar X_n - m|\geq \varepsilon)=0$ où $\bar X_n=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : les $(X_i)$ sont indépendantes, de même loi, admettent une espérance $m$ et une variance $\sigma^2$ finies.
Comment montrer que deux VAR discrètes sont indépendantes ?Voir
2
Je définis la moyenne empirique $\bar X_n=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ et je calcule $E(\bar X_n)=m$ et $V(\bar X_n)=\dfrac{\sigma^2}{n}$ .
3
Pour un $\varepsilon>0$ fixé, j'applique Bienaymé-Tchebychev à $\bar X_n$ : $P(|\bar X_n - m|\geq \varepsilon)\leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?Voir
4
Je passe à la limite $n\to +\infty$ : la majoration tend vers $0$ , donc $\lim_{n\to+\infty} P(|\bar X_n - m|\geq \varepsilon)=0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soient $(X_i)_{i\geq 1}$ iid suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p\in ]0,1[$ . Montrer que $\bar X_n=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ converge en probabilité vers $p$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses : les

(X_i)

sont indépendantes, de même loi, admettent une espérance

m

et une variance

\sigma^2

finies.

Les $X_i$ sont iid, à valeurs dans $\{0,1\}$ , avec $E(X_i)=p$ et $V(X_i)=p(1-p)$ finies.

Étape 2 —

Je définis la moyenne empirique

\bar X_n=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i

et je calcule

E(\bar X_n)=m

V(\bar X_n)=\dfrac{\sigma^2}{n}

$\bar X_n=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ vérifie $E(\bar X_n)=p$ et $V(\bar X_n)=\dfrac{p(1-p)}{n}$ .

Étape 3 —

Pour un

\varepsilon>0

fixé, j'applique Bienaymé-Tchebychev à

\bar X_n

P(|\bar X_n - m|\geq \varepsilon)\leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}

Pour $\varepsilon>0$ : $P(|\bar X_n - p|\geq \varepsilon)\leq \dfrac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$ .

Étape 4 —

Je passe à la limite

n\to +\infty

: la majoration tend vers

0

, donc

\lim_{n\to+\infty} P(|\bar X_n - m|\geq \varepsilon)=0

Quand $n\to+\infty$ , $\dfrac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\to 0$ , donc $\lim_{n\to+\infty} P(|\bar X_n - p|\geq \varepsilon)=0$ : $\bar X_n\to p$ en probabilité.

$\bar X_n$ converge en probabilité vers $p$ ; cela conforte l'interprétation fréquentiste de $p$ .

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Comment appliquer la loi faible des grands nombres ?

En appliquant lim⁡P(∣Xˉn−m∣≥ε)=0\lim P(|\bar X_n - m|\geq \varepsilon)=0limP(∣Xˉn​−m∣≥ε)=0 pour (Xi)(X_i)(Xi​) iid admettant espérance m et variance

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $\lim P(|\bar X_n - m|\geq \varepsilon)=0$ pour $(X_i)$ iid admettant espérance m et variance