En étudiant le rapport $u_{n+1}/u_n$ (termes positifs)

Déterminer le sens de variation d'une suite à termes strictement positifs via le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la monotonie de $u_n=\frac{2^n}{n!}$ pour $n \in \mathbb{N}^*$ .

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite à termes strictement positifs via le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .

Le principe

Si $u_n>0$ pour tout $n$ , alors $(u_n)$ est croissante si et seulement si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$ pour tout $n$ (décroissante si $\leq 1$ ).

La méthode

1
Je vérifie que tous les termes de la suite sont strictement positifs (par récurrence si besoin).
2
Je calcule et simplifie le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .
3
Je compare ce rapport à $1$ pour tout $n$ .
4
Je conclus sur la monotonie : rapport $\geq 1$ $\Rightarrow$ croissante, rapport $\leq 1$ $\Rightarrow$ décroissante.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier la monotonie de $u_n=\frac{2^n}{n!}$ pour $n \in \mathbb{N}^*$ .

Étape 1 —

Je vérifie que tous les termes de la suite sont strictement positifs (par récurrence si besoin).

Pour tout $n \geq 1$ , $2^n > 0$ et $n! > 0$ donc $u_n > 0$ .

Étape 2 —

Je calcule et simplifie le rapport

\frac{u_{n+1}}{u_n}

Je calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1}$ .

Étape 3 —

Je compare ce rapport à

1

pour tout

n

Pour $n=1$ , $\frac{2}{2}=1$ ; pour $n \geq 2$ , $\frac{2}{n+1} < 1$ .

Étape 4 —

Je conclus sur la monotonie : rapport

\geq 1

\Rightarrow

croissante, rapport

\leq 1

\Rightarrow

décroissante.

Je conclus que $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $1$ (strictement à partir de $n=2$ ).

$(u_n)$ est décroissante à partir du rang $1$ .

Application guidée

Étudier la monotonie de $u_n = \frac{n!}{3^n}$ pour $n \in \mathbb{N}$ .

Application autonome 1

Étudier la monotonie de $u_n = \frac{n^n}{n!}$ pour $n \geq 1$ .

Application autonome 2

Étudier la monotonie de $u_n=\dfrac{3^n}{n^2}$ pour $n\in\mathbb{N}^*$ .

Application autonome 3

Étudier la monotonie de $u_n=\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}$ pour $n\in\mathbb{N}^*$ .

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