Comment caractériser la convexité par la monotonie de $f'$ ou la position par rapport aux tangentes ? | MetMat

Comment caractériser la convexité par la monotonie de $f'$ ou la position par rapport aux tangentes ?

En montrant que $f'$ est croissante

Démontrer la convexité d'une fonction $\mathcal{C}^1$ en établissant la croissance de $f'$ sur $I$ .

L'objectif

Démontrer la convexité d'une fonction $\mathcal{C}^1$ en établissant la croissance de $f'$ sur $I$ .

Le principe

Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle $I$ , $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f'$ est croissante sur $I$ (résultat admis au programme).

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur l'intervalle $I$ et j'écris $f'(x)$ .
2
Je démontre que $f'$ est croissante sur $I$ (soit par le signe de $f''$ si $f$ est $\mathcal{C}^2$ , soit par un raisonnement direct sur $f'$ ).
3
Je conclus que $f$ est convexe sur $I$ par la caractérisation $\mathcal{C}^1$ .

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Exercice d'exemple

Montrer que $f\colon x\mapsto x^2-\ln(x)$ est convexe sur $]0,+\infty[$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est

\mathcal{C}^1

sur l'intervalle

I

et j'écris

f'(x)

$f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $]0,+\infty[$ ; $f'(x)=2x-\dfrac{1}{x}$ .

Étape 2 —

Je démontre que

f'

est croissante sur

I

(soit par le signe de

f''

f

est

\mathcal{C}^2

, soit par un raisonnement direct sur

f'

$f'$ est dérivable avec $f''(x)=2+\dfrac{1}{x^2}>0$ sur $]0,+\infty[$ , donc $f'$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ .

Étape 3 —

Je conclus que

f

est convexe sur

I

par la caractérisation

\mathcal{C}^1

$f$ est convexe (et strictement convexe) sur $]0,+\infty[$ .

$f$ est convexe sur $]0,+\infty[$ .

Application guidée

Montrer que $g\colon x\mapsto x\mathrm{e}^x$ est convexe sur $[-1,+\infty[$ .

Application autonome 1

Montrer que $h\colon x\mapsto \mathrm{e}^{-x}+x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Montrer que $f\colon x\mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Montrer que $f\colon x\mapsto-\ln(x)$ est convexe sur $]0,+\infty[$ .

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En montrant que f′f'f′ est croissante

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En montrant que $f'$ est croissante