Comment caractériser la convexité par la monotonie de $f'$ ou la position par rapport aux tangentes ?

En montrant que $f'$ est croissante

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f\colon x\mapsto x^2-\ln(x)$ est convexe sur $]0,+\infty[$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur l'intervalle $I$ et j'écris $f'(x)$ .
2
Je démontre que $f'$ est croissante sur $I$ (soit par le signe de $f''$ si $f$ est $\mathcal{C}^2$ , soit par un raisonnement direct sur $f'$ ).
3
Je conclus que $f$ est convexe sur $I$ par la caractérisation $\mathcal{C}^1$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que $f\colon x\mapsto x^2-\ln(x)$ est convexe sur $]0,+\infty[$ .

1

$f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $]0,+\infty[$ ; $f'(x)=2x-\dfrac{1}{x}$ .

2

$f'$ est dérivable avec $f''(x)=2+\dfrac{1}{x^2}>0$ sur $]0,+\infty[$ , donc $f'$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ .

3

$f$ est convexe (et strictement convexe) sur $]0,+\infty[$ .

$f$ est convexe sur $]0,+\infty[$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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