Comment manipuler union… : En appliquant la distributivité et les… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment manipuler union, intersection, complémentaire (lois de Morgan) ?

En appliquant la distributivité et les lois de Morgan

Simplifier ou transformer une expression faisant intervenir $\cup$ , $\cap$ et $\overline{\cdot}$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $A, B \subset E$ . Simplifier $\overline{A \cup \overline{B}}$ .

L'objectif

Simplifier ou transformer une expression faisant intervenir $\cup$ , $\cap$ et $\overline{\cdot}$ .

Le principe

Les opérations ensemblistes suivent la distributivité ( $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ , et symétrique) ainsi que les lois de Morgan : $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ et $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ .

La méthode

1
J'identifie l'opération extérieure de l'expression (union, intersection, ou complémentaire global).
2
Si le complémentaire porte sur une union ou une intersection, j'applique la loi de Morgan correspondante pour le faire rentrer.
3
J'applique la distributivité de $\cap$ sur $\cup$ (ou inversement) pour développer ou factoriser, et j'utilise $\overline{\overline{A}} = A$ , $A \cup \overline{A} = E$ , $A \cap \overline{A} = \emptyset$ .
4
Je simplifie les absorptions ( $A \cup (A \cap B) = A$ , $A \cap (A \cup B) = A$ ) et je lis le résultat final.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soient $A, B \subset E$ . Simplifier $\overline{A \cup \overline{B}}$ .

Étape 1 —

J'identifie l'opération extérieure de l'expression (union, intersection, ou complémentaire global).

L'opération extérieure est un complémentaire global portant sur une union.

Étape 2 —

Si le complémentaire porte sur une union ou une intersection, j'applique la loi de Morgan correspondante pour le faire rentrer.

Par loi de Morgan, $\overline{A \cup \overline{B}} = \overline{A} \cap \overline{\overline{B}}$ .

Étape 3 —

J'applique la distributivité de

\cap

sur

\cup

(ou inversement) pour développer ou factoriser, et j'utilise

\overline{\overline{A}} = A

A \cup \overline{A} = E

A \cap \overline{A} = \emptyset

L'involution du complémentaire donne $\overline{\overline{B}} = B$ , donc l'expression vaut $\overline{A} \cap B$ .

Étape 4 —

Je simplifie les absorptions (

A \cup (A \cap B) = A

A \cap (A \cup B) = A

) et je lis le résultat final.

On obtient la forme simplifiée $B \setminus A$ (puisque $\overline{A} \cap B = B \cap \overline{A} = B \setminus A$ ).

$\overline{A \cup \overline{B}} = \overline{A} \cap B = B \setminus A$ .

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