Comment déterminer les coordonnées d'un vecteur dans une base ?

En résolvant un système linéaire donnant les scalaires

L'objectif

Trouver l'unique $n$ -uplet $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ tel que $x = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i$ dans une base $\mathcal{B} = (v_1, \ldots, v_n)$ .

Le principe

Dans une base $\mathcal{B} = (v_1, \ldots, v_n)$ de $E$ , tout vecteur $x \in E$ s'écrit de manière unique $x = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i$ ; les $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ sont ses coordonnées dans $\mathcal{B}$ , obtenues en résolvant le système linéaire correspondant.

La méthode

1
Je pose $x = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n$ avec $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n$ inconnus.
2
Je traduis cette équation en système linéaire en identifiant les coordonnées dans une base de référence (ou en évaluant en des valeurs bien choisies pour des polynômes).
3
Je résous le système pour obtenir les valeurs de $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ .
4
Je conclus que $[x]_{\mathcal{B}} = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ , éventuellement présentées sous forme de matrice colonne $\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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