En montrant $u_n/v_n \to 0$

Établir $u_n = o(v_n)$ pour deux suites réelles.

L'objectif

Établir $u_n = o(v_n)$ pour deux suites réelles.

Le principe

Par définition, si $v_n \neq 0$ à partir d'un certain rang, $u_n = o(v_n) \iff \dfrac{u_n}{v_n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$ .

La méthode

1
On vérifie que $v_n$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang $n_0$ afin de former le quotient $\dfrac{u_n}{v_n}$ .
2
On calcule la limite de $\dfrac{u_n}{v_n}$ lorsque $n \to +\infty$ (factorisation par le terme dominant, croissances comparées, équivalents déjà connus).
Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?Voir
3
Si $\dfrac{u_n}{v_n} \to 0$ , on conclut $u_n = o(v_n)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Montrer que $n = o(n^2)$ .

Étape 1 —

On vérifie que

v_n

ne s'annule pas à partir d'un certain rang

n_0

afin de former le quotient

\dfrac{u_n}{v_n}

Pour $n \geq 1$ , $v_n = n^2 > 0$ : le quotient $\dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{n}{n^2}$ est bien défini.

Étape 2 —

On calcule la limite de

\dfrac{u_n}{v_n}

lorsque

n \to +\infty

(factorisation par le terme dominant, croissances comparées, équivalents déjà connus).

Je calcule $\dfrac{n}{n^2} = \dfrac{1}{n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$ .

Étape 3 —

\dfrac{u_n}{v_n} \to 0

, on conclut

u_n = o(v_n)

Donc $n = o(n^2)$ .

$n = o(n^2)$ .

Application guidée

Montrer que $\ln n = o(n)$ .

Application autonome 1

Montrer que $n^{100} = o(2^n)$ .

Application autonome 2

Montrer que $u_n = \dfrac{1}{n^2}$ est négligeable devant $v_n = \dfrac{1}{n}$ .

Application autonome 3

Montrer que $u_n=\dfrac{\ln(n)}{n^{3/2}}$ est négligeable devant $v_n=\dfrac{1}{n}$ .

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