Comment reconnaître et utiliser… : En reconnaissant un tirage équiprobable… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment reconnaître et utiliser une loi uniforme $\mathcal{U}([\![a,b]\!])$ ?

En reconnaissant un tirage équiprobable dans $[\![a,b]\!]$

Reconnaître qu'une VAR suit une loi uniforme sur $[\![a,b]\!]$ et en déduire loi, espérance et variance.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $X$ le résultat. Donner la loi, l'espérance et la variance de $X$ .

L'objectif

Reconnaître qu'une VAR suit une loi uniforme sur $[\![a,b]\!]$ et en déduire loi, espérance et variance.

Le principe

Si $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$ avec $a\leqslant b$ , la loi uniforme $\mathcal{U}([\![a,b]\!])$ est caractérisée par $X(\Omega)=[\![a,b]\!]$ et $P(X=k)=\dfrac{1}{b-a+1}$ pour tout $k\in[\![a,b]\!]$ ; alors $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$ et $V(X)=\dfrac{(b-a+1)^2-1}{12}=\dfrac{(b-a)(b-a+2)}{12}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X$ prend ses valeurs dans un intervalle d'entiers $[\![a,b]\!]$ et que chaque valeur est équiprobable (souvent par un argument de symétrie).
2
J'identifie les bornes $a$ et $b$ , et je vérifie $P(X=k)=\frac{1}{b-a+1}$ pour tout $k\in[\![a,b]\!]$ .
3
Je conclus $X\hookrightarrow\mathcal{U}([\![a,b]\!])$ , avec $E(X)=\frac{a+b}{2}$ et $V(X)=\frac{(b-a+1)^2-1}{12}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $X$ le résultat. Donner la loi, l'espérance et la variance de $X$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

X

prend ses valeurs dans un intervalle d'entiers

[\![a,b]\!]

et que chaque valeur est équiprobable (souvent par un argument de symétrie).

$X(\Omega)=[\![1,6]\!]$ , avec équiprobabilité des faces (dé équilibré).

Étape 2 —

J'identifie les bornes

a

b

, et je vérifie

P(X=k)=\frac{1}{b-a+1}

pour tout

k\in[\![a,b]\!]

$P(X=k)=\frac{1}{6}$ pour chaque $k\in[\![1,6]\!]$ , donc $a=1$ , $b=6$ .

Étape 3 —

Je conclus

X\hookrightarrow\mathcal{U}([\![a,b]\!])

, avec

E(X)=\frac{a+b}{2}

V(X)=\frac{(b-a+1)^2-1}{12}

$X\hookrightarrow\mathcal{U}([\![1,6]\!])$ , $E(X)=\frac{1+6}{2}=\frac{7}{2}$ , $V(X)=\frac{6^2-1}{12}=\frac{35}{12}$ .

$X\hookrightarrow\mathcal{U}([\![1,6]\!])$ , $E(X)=\frac{7}{2}$ , $V(X)=\frac{35}{12}$ .

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Comment reconnaître et utiliser une loi uniforme U([ ⁣[a,b] ⁣])\mathcal{U}([\![a,b]\!])U([[a,b]]) ?

En reconnaissant un tirage équiprobable dans [ ⁣[a,b] ⁣][\![a,b]\!][[a,b]]

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment reconnaître et utiliser une loi uniforme $\mathcal{U}([\![a,b]\!])$ ?

En reconnaissant un tirage équiprobable dans $[\![a,b]\!]$