Comment montrer qu'une… : En vérifiant que X(Omega) est fini ou… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une application définit une variable aléatoire discrète ?

En vérifiant que $X(\Omega)$ est fini ou dénombrable et que chaque $[X=x]$ est un événement

Justifier que $X : \Omega \to \mathbb{R}$ est bien une variable aléatoire discrète sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir pile. Soit $X$ le rang d'apparition du premier pile (et $X=0$ si pile n'apparaît jamais). Montrer que $X$ est une VAR discrète.

L'objectif

Justifier que $X : \Omega \to \mathbb{R}$ est bien une variable aléatoire discrète sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ .

Le principe

Par définition, $X$ est une VAR discrète lorsque $X(\Omega)=\{u_i\}_{i\in I}$ avec $I$ partie finie ou dénombrable de $\mathbb{N}$ , et lorsque pour tout $i\in I$ , $[X=u_i]\in \mathcal{A}$ .

La méthode

1
Je détermine l'image $X(\Omega)=\{x \in \mathbb{R} \mid \exists \omega \in \Omega,\ X(\omega)=x\}$ et je vérifie qu'elle est finie ou indexable par une partie de $\mathbb{N}$ .
2
Pour chaque $x\in X(\Omega)$ , j'écris $[X=x]$ comme réunion, intersection ou complémentaire dénombrable d'événements déjà donnés dans $\mathcal{A}$ .
3
Je conclus que $X$ est une variable aléatoire discrète sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir pile. Soit $X$ le rang d'apparition du premier pile (et $X=0$ si pile n'apparaît jamais). Montrer que $X$ est une VAR discrète.

Étape 1 —

Je détermine l'image

X(\Omega)=\{x \in \mathbb{R} \mid \exists \omega \in \Omega,\ X(\omega)=x\}

et je vérifie qu'elle est finie ou indexable par une partie de

\mathbb{N}

$X(\Omega) \subset \mathbb{N}$ , donc dénombrable.

Étape 2 —

Pour chaque

x\in X(\Omega)

, j'écris

[X=x]

comme réunion, intersection ou complémentaire dénombrable d'événements déjà donnés dans

\mathcal{A}

Pour $k\geq 1$ , $[X=k]=F_1 \cap \dots \cap F_{k-1} \cap P_k$ (où $F_i$ = face au lancer $i$ , $P_k$ = pile au lancer $k$ ) ; $[X=0]=\bigcap_{i\geq 1} F_i$ : intersections dénombrables d'événements.

Étape 3 —

Je conclus que

X

est une variable aléatoire discrète sur

(\Omega, \mathcal{A}, P)

Chaque $[X=k]\in \mathcal{A}$ donc $X$ est une VAR discrète.

$X$ est bien une variable aléatoire discrète sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment montrer qu'une application définit une variable aléatoire discrète ?

En vérifiant que X(Ω)X(\Omega)X(Ω) est fini ou dénombrable et que chaque [X=x][X=x][X=x] est un événement

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $X(\Omega)$ est fini ou dénombrable et que chaque $[X=x]$ est un événement