En appliquant des opérations élémentaires sur $(A\mid I_n)$ pour obtenir $(I_n\mid A^{-1})$

Calculer $A^{-1}$ (et conclure à l'inversibilité) par l'algorithme de Gauss-Jordan.

L'objectif

Calculer $A^{-1}$ (et conclure à l'inversibilité) par l'algorithme de Gauss-Jordan.

Le principe

Les opérations élémentaires sur les lignes sont des multiplications à gauche par des matrices inversibles : en transformant $(A\mid I_n)$ en $(I_n\mid B)$ par des opérations licites, on obtient $B=A^{-1}$ .

La méthode

1
Je dresse la matrice augmentée $(A\mid I_n)$ .
2
J'applique des opérations élémentaires ( $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j$ , $L_i\leftrightarrow L_j$ , $L_i\leftarrow \lambda L_i$ avec $\lambda\neq 0$ ) pour rendre la partie gauche triangulaire supérieure.
3
Je poursuis la réduction jusqu'à obtenir $I_n$ à gauche ; si un pivot nul inévitable apparaît, $A$ n'est pas inversible.
4
Je lis $A^{-1}$ à droite et je vérifie par le calcul de $AA^{-1}=I_n$ .

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Exercice d'exemple

Calculer $A^{-1}$ pour $A=\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}$ par pivot de Gauss.

Étape 1 —

Je dresse la matrice augmentée

(A\mid I_n)

Matrice augmentée : $\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\1&3&0&1\end{array}\right)$ .

Étape 2 —

J'applique des opérations élémentaires (

L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j

L_i\leftrightarrow L_j

L_i\leftarrow \lambda L_i

avec

\lambda\neq 0

) pour rendre la partie gauche triangulaire supérieure.

$L_2\leftarrow L_2-L_1$ : $\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&1&-1&1\end{array}\right)$ .

Étape 3 —

Je poursuis la réduction jusqu'à obtenir

I_n

à gauche ; si un pivot nul inévitable apparaît,

A

n'est pas inversible.

$L_1\leftarrow L_1-2L_2$ : $\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&3&-2\\0&1&-1&1\end{array}\right)$ , partie gauche = $I_2$ .

Étape 4 —

Je lis

A^{-1}

à droite et je vérifie par le calcul de

AA^{-1}=I_n

On lit $A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2\\-1&1\end{pmatrix}$ ; vérification $AA^{-1}=I_2$ .

$A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2\\-1&1\end{pmatrix}$ .

Application guidée

Calculer $A^{-1}$ pour $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

La matrice $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&1\end{pmatrix}$ est-elle inversible ?

Application autonome 2

Calculer $A^{-1}$ par pivot de Gauss pour $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Calculer $A^{-1}$ pour $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}$ par pivot de Gauss.

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En appliquant des opérations élémentaires sur (A∣In)(A\mid I_n)(A∣In​) pour obtenir (In∣A−1)(I_n\mid A^{-1})(In​∣A−1)

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