Comment étudier une fonction définie par $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ ?

En exploitant que $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est $\mathcal{C}^1$ de dérivée $f$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $F(x)=\int_0^x \frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$ pour $x\in\mathbb{R}$ . Étudier $F$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur l'intervalle $I$ contenant $a$ , ce qui garantit que $F$ est bien définie et $\mathcal{C}^1$ sur $I$ avec $F'(x)=f(x)$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je calcule $F(a)=0$ et j'utilise $F'=f$ pour étudier le sens de variation de $F$ via le signe de $f$ .
3
Je détermine, si possible, les limites ou les valeurs particulières de $F$ (par calcul direct si $f$ admet une primitive usuelle, ou par encadrement).
4
Je dresse le tableau de variations et j'interprète géométriquement : $F(x)$ est l'aire algébrique sous la courbe de $f$ entre $a$ et $x$ .
Comment dresser le tableau de variations d'une fonction ?Voir

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $F(x)=\int_0^x \frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$ pour $x\in\mathbb{R}$ . Étudier $F$ .

1

$f(t)=\frac{1}{1+t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ , donc $F$ est définie et $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ avec $F'(x)=\frac{1}{1+x^2}$ .

2

$F(0)=0$ et $F'(x)>0$ sur $\mathbb{R}$ , donc $F$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

3

$F$ est impaire (intégrale impaire), et on peut montrer que $F$ est bornée (majoration de $f$ par intégrale convergente).

4

Tableau de variations : $F$ strictement croissante, $F(0)=0$ , avec limites finies en $\pm\infty$ .

$F$ est $\mathcal{C}^1$ , impaire, strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment étudier une fonction définie par x↦∫axf(t) dtx \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}tx↦∫ax​f(t)dt ?

En exploitant que F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}tF(x)=∫ax​f(t)dt est C1\mathcal{C}^1C1 de dérivée fff

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment étudier une fonction définie par $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ ?

En exploitant que $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est $\mathcal{C}^1$ de dérivée $f$