Comment étudier une fonction définie par $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ ? | MetMat

Comment étudier une fonction définie par $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ ?

En exploitant que $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est $\mathcal{C}^1$ de dérivée $f$

Étudier la régularité, la monotonie et les valeurs d'une fonction définie par $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $F(x)=\int_0^x \frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$ pour $x\in\mathbb{R}$ . Étudier $F$ .

L'objectif

Étudier la régularité, la monotonie et les valeurs d'une fonction définie par $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ .

Le principe

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $a\in I$ , alors $F : x\mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ s'annulant en $a$ ; $F$ est $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et $F'=f$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur l'intervalle $I$ contenant $a$ , ce qui garantit que $F$ est bien définie et $\mathcal{C}^1$ sur $I$ avec $F'(x)=f(x)$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je calcule $F(a)=0$ et j'utilise $F'=f$ pour étudier le sens de variation de $F$ via le signe de $f$ .
3
Je détermine, si possible, les limites ou les valeurs particulières de $F$ (par calcul direct si $f$ admet une primitive usuelle, ou par encadrement).
4
Je dresse le tableau de variations et j'interprète géométriquement : $F(x)$ est l'aire algébrique sous la courbe de $f$ entre $a$ et $x$ .
Comment dresser le tableau de variations d'une fonction ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $F(x)=\int_0^x \frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$ pour $x\in\mathbb{R}$ . Étudier $F$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur l'intervalle

I

contenant

a

, ce qui garantit que

F

est bien définie et

\mathcal{C}^1

sur

I

avec

F'(x)=f(x)

$f(t)=\frac{1}{1+t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ , donc $F$ est définie et $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ avec $F'(x)=\frac{1}{1+x^2}$ .

Étape 2 —

Je calcule

F(a)=0

et j'utilise

F'=f

pour étudier le sens de variation de

F

via le signe de

f

$F(0)=0$ et $F'(x)>0$ sur $\mathbb{R}$ , donc $F$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Étape 3 —

Je détermine, si possible, les limites ou les valeurs particulières de

F

(par calcul direct si

f

admet une primitive usuelle, ou par encadrement).

$F$ est impaire (intégrale impaire), et on peut montrer que $F$ est bornée (majoration de $f$ par intégrale convergente).

Étape 4 —

Je dresse le tableau de variations et j'interprète géométriquement :

F(x)

est l'aire algébrique sous la courbe de

f

entre

a

x

Tableau de variations : $F$ strictement croissante, $F(0)=0$ , avec limites finies en $\pm\infty$ .

$F$ est $\mathcal{C}^1$ , impaire, strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Application guidée

Soit $G(x)=\int_1^x \ln t\,\mathrm{d}t$ pour $x>0$ . Étudier $G$ .

Application autonome 1

Soit $H(x) = \int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ . Montrer que $H$ est $\mathcal{C}^1$ , impaire et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Soit $F(x)=\displaystyle\int_0^x \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ pour $x\in\mathbb{R}$ . Étudier la parité et la monotonie de $F$ .

Application autonome 3

Soit $F(x)=\displaystyle\int_x^{2x}\dfrac{\mathrm{d}t}{t}$ pour $x>0$ . Montrer que $F$ est constante.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En exploitant que F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}tF(x)=∫ax​f(t)dt est C1\mathcal{C}^1C1 de dérivée fff

Pour comprendre, fais des exercices !

En exploitant que $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est $\mathcal{C}^1$ de dérivée $f$