Comment montrer qu'un événement est presque sûr ou négligeable ?

En montrant $P(A)=1$ (presque sûr) ou $P(A)=0$ (négligeable)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance indéfiniment une pièce équilibrée. Montrer que l'événement $A$ : « obtenir une suite infinie de piles consécutifs dès le premier lancer » est négligeable.

La méthode

1
Je reformule $A$ comme union ou intersection dénombrable (souvent monotone) d'événements plus simples, ou je décide de travailler sur le complémentaire $\bar A$ .
2
Je calcule $P(\bar A)$ ou $P(A)$ via la $\sigma$ -additivité ou le théorème de la limite monotone (selon que la suite construite est croissante, décroissante, ou disjointe).
Comment montrer la convergence par le théorème de limite monotone ?Voir
3
Je passe à la limite et je conclus : si $P(A)=1$ , l'événement est presque sûr ; si $P(A)=0$ , il est négligeable.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On lance indéfiniment une pièce équilibrée. Montrer que l'événement $A$ : « obtenir une suite infinie de piles consécutifs dès le premier lancer » est négligeable.

1

Je pose $A_n$ : « les $n$ premiers lancers donnent pile ». Alors $A=\bigcap_{n\geq 1} A_n$ et la suite $(A_n)$ est décroissante.

2

Par le théorème de la limite monotone, $P(A)=\lim_{n\to +\infty} P(A_n)=\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ .

3

La limite vaut $0$ , donc $P(A)=0$ .

$A$ est négligeable.

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Comment montrer qu'un événement est presque sûr ou négligeable ?

En montrant P(A)=1P(A)=1P(A)=1 (presque sûr) ou P(A)=0P(A)=0P(A)=0 (négligeable)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En montrant $P(A)=1$ (presque sûr) ou $P(A)=0$ (négligeable)