En calculant $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ puis $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

L'objectif

Calculer la variance et l'écart-type d'une VAR finie.

Le principe

Formule de König-Huygens : $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ , et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\geqslant 0$ . Cette formule est souvent plus simple à utiliser que la définition $V(X)=E\!\left((X-E(X))^2\right)$ .

La méthode

1
Je calcule $E(X)$ en utilisant la définition ou la linéarité.
2
Je calcule $E(X^2)$ grâce au théorème de transfert : $E(X^2)=\sum_{x\in X(\Omega)} x^2\,P(X=x)$ .
Comment appliquer le théorème de transfert pour une VAR discrète ?Voir
3
J'applique la formule de König-Huygens : $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ , puis $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ .

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Application guidée 1

Soit $X$ le résultat d'un dé équilibré à 6 faces. Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Application guidée 2

Soit $X$ de loi $P(X=-1)=\frac{1}{4}$ , $P(X=0)=\frac{1}{2}$ , $P(X=2)=\frac{1}{4}$ . Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Application autonome 1

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{B}(p)$ (loi de Bernoulli). Calculer $V(X)$ .

Application autonome 2

Soit $X$ le nombre de Piles en 2 lancers équilibrés. Calculer $V(X)$ .

Application autonome 3

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{U}(\{1,\dots,n\})$ . Calculer $V(X)$ .

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En calculant V(X)=E(X2)−E(X)2V(X)=E(X^2)-E(X)^2V(X)=E(X2)−E(X)2 puis σ(X)=V(X)\sigma(X)=\sqrt{V(X)}σ(X)=V(X)​

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En calculant $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ puis $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$