Comment calculer la variance et l'écart-type (König-Huygens) ?

En calculant $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ puis $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

Calculer la variance et l'écart-type d'une VAR finie.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X$ le résultat d'un dé équilibré à 6 faces. Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

L'objectif

Calculer la variance et l'écart-type d'une VAR finie.

Le principe

Formule de König-Huygens : $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ , et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\geqslant 0$ . Cette formule est souvent plus simple à utiliser que la définition $V(X)=E\!\left((X-E(X))^2\right)$ .

La méthode

1
Je calcule $E(X)$ en utilisant la définition ou la linéarité.
2
Je calcule $E(X^2)$ grâce au théorème de transfert : $E(X^2)=\sum_{x\in X(\Omega)} x^2\,P(X=x)$ .
Comment appliquer le théorème de transfert pour une VAR discrète ?Voir
3
J'applique la formule de König-Huygens : $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ , puis $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X$ le résultat d'un dé équilibré à 6 faces. Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Étape 1 —

Je calcule

E(X)

en utilisant la définition ou la linéarité.

$E(X)=\frac{7}{2}$ (déjà calculé).

Étape 2 —

Je calcule

E(X^2)

grâce au théorème de transfert :

E(X^2)=\sum_{x\in X(\Omega)} x^2\,P(X=x)

.

$E(X^2)=\sum_{k=1}^{6} k^2\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\cdot\frac{6\cdot 7\cdot 13}{6}=\frac{91}{6}$ .

Étape 3 —

J'applique la formule de König-Huygens :

V(X)=E(X^2)-E(X)^2

, puis

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

.

$V(X)=\frac{91}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}$ , et $\sigma(X)=\sqrt{\frac{35}{12}}=\frac{\sqrt{105}}{6}$ .

$V(X)=\frac{35}{12}$ , $\sigma(X)=\frac{\sqrt{105}}{6}$ .

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Comment calculer la variance et l'écart-type (König-Huygens) ?

En calculant V(X)=E(X2)−E(X)2V(X)=E(X^2)-E(X)^2V(X)=E(X2)−E(X)2 puis σ(X)=V(X)\sigma(X)=\sqrt{V(X)}σ(X)=V(X)​

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ puis $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$