Comment déterminer $f(I)$ pour $f$ continue sur un intervalle $I$ ?

En exploitant image d'intervalle = intervalle (continue) + max/min ou limites aux bornes

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer $f(\mathbb{R})$ pour $f \colon x \mapsto x^2 + 1$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur $I$ , ce qui garantit que $f(I)$ est un intervalle (et un segment si $I$ est un segment).
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
J'étudie les variations de $f$ sur $I$ et je calcule les valeurs/limites aux bornes, ainsi que les extrema intérieurs éventuels.
3
Je lis sur le tableau de variations les bornes de $f(I)$ (atteintes si $I$ segment, éventuellement ouvertes si $I$ est ouvert ou non borné) et j'écris $f(I)$ .
Comment dresser le tableau de variations d'une fonction ?Voir

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Déterminer $f(\mathbb{R})$ pour $f \colon x \mapsto x^2 + 1$ .

1

$f$ est polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}$ : $f(\mathbb{R})$ est un intervalle.

2

$f'(x) = 2x$ : $f$ décroît sur $]-\infty, 0]$ , croît sur $[0, +\infty[$ ; $f(0) = 1$ (minimum), $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$ .

3

Le minimum $1$ est atteint, $+\infty$ ne l'est pas : $f(\mathbb{R}) = [1, +\infty[$ .

$f(\mathbb{R}) = [1, +\infty[$ .

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Comment déterminer f(I)f(I)f(I) pour fff continue sur un intervalle III ?

En exploitant image d'intervalle = intervalle (continue) + max/min ou limites aux bornes

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment déterminer $f(I)$ pour $f$ continue sur un intervalle $I$ ?