Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ?

En montrant $\mathrm{Ker}\,f=\{0_E\}$ (injectivité)

L'objectif

Prouver qu'une application linéaire $f\colon E\to F$ est injective.

Le principe

Une application linéaire $f$ est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}\,f=\{0_E\}$ .

La méthode

1
Je pars d'un vecteur $x\in\mathrm{Ker}\,f$ , c'est-à-dire $f(x)=0_F$ .
2
Je traduis cette condition en un système ou une équation dans les coordonnées de $x$ .
3
Je résous et je montre que la seule solution est $x=0_E$ .
4
Je conclus que $\mathrm{Ker}\,f=\{0_E\}$ , donc $f$ est injective.

Difficulté croissante de 1 à 3

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En montrant Ker f={0E}\mathrm{Ker}\,f=\{0_E\}Kerf={0E​} (injectivité)