En vérifiant continuité sur $[a,b]$, dérivabilité sur $]a,b[$ et $f(a)=f(b)$

Montrer qu'il existe $c\in]0,2[$ tel que $f'(c)=0$, avec $f(x)=x(2-x)$.

Soit $P$ un polynôme de degré $n\geq 2$ admettant $n$ racines réelles distinctes. Montrer que $P'$ admet au moins $n-1$ racines réelles distinctes.

Soit $f(x)=\sin(x)$. Montrer qu'il existe $c\in]0,\pi[$ tel que $f'(c)=0$.

Soit $f(x)=\ln(1+x^2)$ sur $[-1,1]$. Appliquer le théorème de Rolle et déterminer $c$.

Soient $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$, avec $f(a)=f(b)=0$. Montrer que $\forall\lambda\in\mathbb{R}$, il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)+\lambda f(c)=0$.