Comment approcher une racine de $f(x)=0$ par dichotomie ?

En bissectant itérativement $[a_n,b_n]$ en conservant le changement de signe

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Approcher à $10^{-1}$ près la racine de $f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0, 1]$ .

La méthode

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Je vérifie que $f$ est continue sur $[a, b]$ et que $f(a) \cdot f(b) < 0$ , ce qui assure par le TVI l'existence d'une racine dans $[a, b]$ ; je pose $a_0 = a$ , $b_0 = b$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
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À l'étape $n$ , je calcule $m_n = \frac{a_n + b_n}{2}$ ; si $f(a_n) \cdot f(m_n) \leq 0$ je pose $a_{n+1} = a_n$ , $b_{n+1} = m_n$ , sinon $a_{n+1} = m_n$ , $b_{n+1} = b_n$ .
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J'itère jusqu'à ce que $b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n} \leq \varepsilon$ ; je prends alors $m_n$ comme approximation de la racine avec erreur $\leq \varepsilon$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Approcher à $10^{-1}$ près la racine de $f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0, 1]$ .

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$f$ est polynomiale donc continue sur $[0, 1]$ ; $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ , donc par le TVI une racine $c \in [0, 1]$ existe. On pose $a_0 = 0$ , $b_0 = 1$ .

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Itérations : $m_0 = 0{,}5$ , $f(0{,}5) = -0{,}375 < 0$ donc $[0{,}5 ; 1]$ ; $m_1 = 0{,}75$ , $f(0{,}75) \approx 0{,}172 > 0$ donc $[0{,}5 ; 0{,}75]$ ; $m_2 = 0{,}625$ , $f(0{,}625) \approx -0{,}131 < 0$ donc $[0{,}625 ; 0{,}75]$ ; $m_3 = 0{,}6875$ , $f \approx 0{,}012 > 0$ donc $[0{,}625 ; 0{,}6875]$ .

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Longueur $\frac{1}{16} = 0{,}0625 \leq 0{,}1$ : on prend $m_3 \approx 0{,}6875$ comme approximation (la racine exacte est $\approx 0{,}6824$ ).

$c \approx 0{,}6875$ à $10^{-1}$ près.

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Comment approcher une racine de f(x)=0f(x)=0f(x)=0 par dichotomie ?

En bissectant itérativement [an,bn][a_n,b_n][an​,bn​] en conservant le changement de signe

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment approcher une racine de $f(x)=0$ par dichotomie ?

En bissectant itérativement $[a_n,b_n]$ en conservant le changement de signe