En posant la division euclidienne par puissances décroissantes

L'objectif

Obtenir l'écriture $A = BQ + R$ avec $\deg(R) < \deg(B)$ de manière algorithmique.

Le principe

Théorème : pour $A, B \in \mathbb{R}[X]$ avec $B \neq 0$ , il existe un unique couple $(Q,R)$ tel que $A = BQ + R$ et $\deg(R) < \deg(B)$ (résultat admis au BO).

La méthode

1
J'ordonne $A$ et $B$ par puissances décroissantes de $X$ et je vérifie $B \neq 0$ .
2
Je divise le monôme dominant de $A$ par celui de $B$ : j'obtiens un monôme que j'ajoute au quotient, puis je retranche à $A$ le produit de ce monôme par $B$ .
3
Je recommence sur le nouveau dividende tant que son degré reste supérieur ou égal à $\deg(B)$ .
4
Je m'arrête dès que $\deg(R) < \deg(B)$ , et j'écris la relation $A = BQ + R$ .

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Application guidée 1

Effectuer la division euclidienne de $A(X) = X^3 - 2X^2 + X - 1$ par $B(X) = X - 1$ .

Application guidée 2

Effectuer la division euclidienne de $A(X) = 2X^4 + X^3 - 3X + 5$ par $B(X) = X^2 + 1$ .

Application autonome 1

Effectuer la division euclidienne de $A(X) = X^4 + 1$ par $B(X) = X^2 + X + 1$ .

Application autonome 2

Effectuer la division euclidienne de $A(X)=X^3+X+1$ par $B(X)=X-2$ .

Application autonome 3

Effectuer la division euclidienne de $A(X)=X^5-1$ par $B(X)=X^2-1$ .

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