Comment appliquer une inégalité de convexité ?

En appliquant $f(\sum t_i x_i) \leq \sum t_i f(x_i)$ avec $\sum t_i = 1$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que pour tous réels positifs $a,b$ , $\sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}$ (inégalité arithmético-géométrique) via la concavité du logarithme.

La méthode

1
Je vérifie que la fonction $f$ utilisée est convexe sur l'intervalle concerné (justifié par $f''\geq 0$ ou par un résultat du cours).
Comment montrer qu'une fonction est convexe ?Voir
2
Je choisis les points $x_1,\dots,x_n$ et les coefficients $t_1,\dots,t_n\geq 0$ avec $\sum t_i=1$ qui font apparaître l'inégalité cherchée.
3
J'écris l'inégalité de convexité généralisée $f(\sum t_i x_i) \leq \sum t_i f(x_i)$ avec ce choix.
4
Je simplifie les deux membres pour obtenir la majoration voulue.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que pour tous réels positifs $a,b$ , $\sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}$ (inégalité arithmético-géométrique) via la concavité du logarithme.

1

Si $a=0$ (resp. $b=0$ ), l'inégalité donne $0\leq \dfrac{b}{2}$ (resp. $\dfrac{a}{2}$ ), ce qui est vérifié ; sinon $a,b>0$ et $\ln$ est concave sur $]0,+\infty[$ (car $(\ln)''<0$ ), donc $-\ln$ est convexe.

2

Je prends $x_1=a$ , $x_2=b$ et $t_1=t_2=\tfrac{1}{2}$ , qui vérifient $t_1+t_2=1$ .

3

L'inégalité de concavité donne $\ln\!\left(\tfrac{a+b}{2}\right)\geq \tfrac{1}{2}\ln a+\tfrac{1}{2}\ln b = \ln\sqrt{ab}$ .

4

Par croissance stricte de $\ln$ , $\dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ .

$\forall a,b\geq 0, \sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}$ .

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Comment appliquer une inégalité de convexité ?

En appliquant f(∑tixi)≤∑tif(xi)f(\sum t_i x_i) \leq \sum t_i f(x_i)f(∑ti​xi​)≤∑ti​f(xi​) avec ∑ti=1\sum t_i = 1∑ti​=1

Pour comprendre, passons aux exercices.

En appliquant $f(\sum t_i x_i) \leq \sum t_i f(x_i)$ avec $\sum t_i = 1$