En appliquant $f(\sum t_i x_i) \leq \sum t_i f(x_i)$ avec $\sum t_i = 1$

Établir une inégalité par application de l'inégalité de convexité généralisée.

L'objectif

Établir une inégalité par application de l'inégalité de convexité généralisée.

Le principe

Si $f$ est convexe sur un intervalle $I$ , alors pour tout $n\geq 1$ , tous $x_1,\dots,x_n\in I$ et tous $t_1,\dots,t_n\geq 0$ avec $\sum_{i=1}^n t_i=1$ , $f\Bigl(\sum_{i=1}^n t_i x_i\Bigr) \leq \sum_{i=1}^n t_i f(x_i)$ (inégalité de convexité généralisée, admise au programme).

La méthode

1
Je vérifie que la fonction $f$ utilisée est convexe sur l'intervalle concerné (justifié par $f''\geq 0$ ou par un résultat du cours).
Comment montrer qu'une fonction est convexe ?Voir
2
Je choisis les points $x_1,\dots,x_n$ et les coefficients $t_1,\dots,t_n\geq 0$ avec $\sum t_i=1$ qui font apparaître l'inégalité cherchée.
3
J'écris l'inégalité de convexité généralisée $f(\sum t_i x_i) \leq \sum t_i f(x_i)$ avec ce choix.
4
Je simplifie les deux membres pour obtenir la majoration voulue.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que pour tous réels positifs $a,b$ , $\sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}$ (inégalité arithmético-géométrique) via la concavité du logarithme.

Étape 1 —

Je vérifie que la fonction

f

utilisée est convexe sur l'intervalle concerné (justifié par

f''\geq 0

ou par un résultat du cours).

Si $a=0$ (resp. $b=0$ ), l'inégalité donne $0\leq \dfrac{b}{2}$ (resp. $\dfrac{a}{2}$ ), ce qui est vérifié ; sinon $a,b>0$ et $\ln$ est concave sur $]0,+\infty[$ (car $(\ln)''<0$ ), donc $-\ln$ est convexe.

Étape 2 —

Je choisis les points

x_1,\dots,x_n

et les coefficients

t_1,\dots,t_n\geq 0

avec

\sum t_i=1

qui font apparaître l'inégalité cherchée.

Je prends $x_1=a$ , $x_2=b$ et $t_1=t_2=\tfrac{1}{2}$ , qui vérifient $t_1+t_2=1$ .

Étape 3 —

J'écris l'inégalité de convexité généralisée

f(\sum t_i x_i) \leq \sum t_i f(x_i)

avec ce choix.

L'inégalité de concavité donne $\ln\!\left(\tfrac{a+b}{2}\right)\geq \tfrac{1}{2}\ln a+\tfrac{1}{2}\ln b = \ln\sqrt{ab}$ .

Étape 4 —

Je simplifie les deux membres pour obtenir la majoration voulue.

Par croissance stricte de $\ln$ , $\dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ .

$\forall a,b\geq 0, \sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}$ .

Application guidée

Montrer que pour tous $x_1,\dots,x_n\in\mathbb{R}$ , $\left(\dfrac{x_1+\dots+x_n}{n}\right)^2 \leq \dfrac{x_1^2+\dots+x_n^2}{n}$ .

Application autonome 1

Montrer que pour tous $x_1,\dots,x_n>0$ , $\mathrm{e}^{\frac{x_1+\dots+x_n}{n}} \leq \dfrac{\mathrm{e}^{x_1}+\dots+\mathrm{e}^{x_n}}{n}$ .

Application autonome 2

Montrer que pour tous $x_1,\dots,x_n\in\mathbb{R}$ , $\cos\!\left(\dfrac{x_1+\dots+x_n}{n}\right)\geq \dfrac{\cos(x_1)+\dots+\cos(x_n)}{n}$ sur $[-\pi/2,\pi/2]$ .

Application autonome 3

Montrer que pour tous $a_1,\dots,a_n>0$ et tous poids $t_1,\dots,t_n>0$ avec $\sum t_i=1$ , $\prod_{i=1}^n a_i^{t_i}\leq \sum_{i=1}^n t_i a_i$ (inégalité arithmético-géométrique pondérée).

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En appliquant f(∑tixi)≤∑tif(xi)f(\sum t_i x_i) \leq \sum t_i f(x_i)f(∑ti​xi​)≤∑ti​f(xi​) avec ∑ti=1\sum t_i = 1∑ti​=1

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $f(\sum t_i x_i) \leq \sum t_i f(x_i)$ avec $\sum t_i = 1$