Comment caractériser l'intervalle $[a-r,\, a+r]$ à l'aide de $|x - a| \leq r$ ?

En partant de l'intervalle $[a-r, a+r]$ pour en déduire la condition équivalente $|x - a| \leq r$

L'objectif

Exprimer un intervalle centré $[a-r, a+r]$ sous la forme d'une condition de valeur absolue.

Le principe

L'intervalle $[a-r, a+r]$ contient exactement les $x$ vérifiant $|x - a| \leq r$ : on identifie le centre $a$ et le rayon $r$ .

La méthode

1
Identifier le centre $a = \frac{(a-r)+(a+r)}{2}$ et le rayon $r = \frac{(a+r)-(a-r)}{2}$ à partir des bornes de l'intervalle.
2
Réécrire l'inégalité double $a - r \leq x \leq a + r$ en soustrayant $a$ : $-r \leq x - a \leq r$ .
3
Conclure que $-r \leq x - a \leq r$ est équivalent à $|x - a| \leq r$ .

Difficulté croissante de 1 à 5

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En partant de l'intervalle [a−r,a+r][a-r, a+r][a−r,a+r] pour en déduire la condition équivalente ∣x−a∣≤r|x - a| \leq r∣x−a∣≤r