Comment caractériser l'intervalle $[a-r,\, a+r]$ à l'aide de $|x - a| \leq r$ ? | MetMat

Comment caractériser l'intervalle $[a-r,\, a+r]$ à l'aide de $|x - a| \leq r$ ?

En partant de l'intervalle $[a-r, a+r]$ pour en déduire la condition équivalente $|x - a| \leq r$

Exprimer un intervalle centré $[a-r, a+r]$ sous la forme d'une condition de valeur absolue.

L'objectif

Exprimer un intervalle centré $[a-r, a+r]$ sous la forme d'une condition de valeur absolue.

Le principe

L'intervalle $[a-r, a+r]$ contient exactement les $x$ vérifiant $|x - a| \leq r$ : on identifie le centre $a$ et le rayon $r$ .

La méthode

1
Identifier le centre $a = \frac{(a-r)+(a+r)}{2}$ et le rayon $r = \frac{(a+r)-(a-r)}{2}$ à partir des bornes de l'intervalle.
2
Réécrire l'inégalité double $a - r \leq x \leq a + r$ en soustrayant $a$ : $-r \leq x - a \leq r$ .
3
Conclure que $-r \leq x - a \leq r$ est équivalent à $|x - a| \leq r$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exprimer l'intervalle $[1, 5]$ à l'aide d'une condition de valeur absolue.

Étape 1 —

Identifier le centre

a = \frac{(a-r)+(a+r)}{2}

et le rayon

r = \frac{(a+r)-(a-r)}{2}

à partir des bornes de l'intervalle.

Centre : $a = \frac{1+5}{2} = 3$ . Rayon : $r = \frac{5-1}{2} = 2$ .

Étape 2 —

Réécrire l'inégalité double

a - r \leq x \leq a + r

en soustrayant

a

-r \leq x - a \leq r

$1 \leq x \leq 5 \iff -2 \leq x - 3 \leq 2$ .

Étape 3 —

Conclure que

-r \leq x - a \leq r

est équivalent à

|x - a| \leq r

$-2 \leq x - 3 \leq 2 \iff |x - 3| \leq 2$ .

$x \in [1, 5] \iff |x - 3| \leq 2$

Application guidée

Exprimer l'intervalle $[-5, 3]$ à l'aide d'une condition de valeur absolue.

Application autonome 1

Exprimer l'intervalle $[-3, 3]$ à l'aide d'une condition de valeur absolue.

Application autonome 2

Exprimer l'intervalle $[4, 10]$ à l'aide d'une condition de valeur absolue.

Application autonome 3

Exprimer l'intervalle $[-1, 5]$ à l'aide d'une condition de valeur absolue.

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