En calculant les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , puis leur déterminant : s'il est nul, les trois points sont alignés

Montrer que trois points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

L'objectif

Montrer que trois points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

Le principe

Trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0$ .

La méthode

1
Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ à partir des coordonnées des points.
Comment calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ à partir des coordonnées de $A$ et $B$ ?Voir
2
Calculer le déterminant : $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = x_{\overrightarrow{AB}} \times y_{\overrightarrow{AC}} - x_{\overrightarrow{AC}} \times y_{\overrightarrow{AB}}$ .
Comment vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminant ?Voir
3
Conclure : si le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires donc $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Les points $A(1\,;\,2)$ , $B(3\,;\,4)$ et $C(5\,;\,6)$ sont-ils alignés ?

Étape 1 —

Calculer les coordonnées de

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

à partir des coordonnées des points.

$\overrightarrow{AB}(3-1\,;\,4-2) = \overrightarrow{AB}(2\,;\,2)$ et $\overrightarrow{AC}(5-1\,;\,6-2) = \overrightarrow{AC}(4\,;\,4)$ .

Étape 2 —

Calculer le déterminant :

\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = x_{\overrightarrow{AB}} \times y_{\overrightarrow{AC}} - x_{\overrightarrow{AC}} \times y_{\overrightarrow{AB}}

$\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 2 \times 4 - 4 \times 2 = 8 - 8 = 0$ .

Étape 3 —

Conclure : si le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires donc

A

B

C

sont alignés.

Le déterminant est nul, donc $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

$A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

Application guidée

Les points $A(0\,;\,0)$ , $B(2\,;\,1)$ et $C(3\,;\,3)$ sont-ils alignés ?

Application autonome 1

Les points $A(-1\,;\,2)$ , $B(0\,;\,4)$ et $C(1\,;\,6)$ sont-ils alignés ?

Application autonome 2

Les points $A(2\,;\,-1)$ , $B(4\,;\,3)$ et $C(6\,;\,5)$ sont-ils alignés ?

Application autonome 3

Les points $A(1\,;\,3)$ , $B(2\,;\,1)$ et $C(0\,;\,5)$ sont-ils alignés ?

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En calculant les vecteurs AB→\overrightarrow{AB}AB et AC→\overrightarrow{AC}AC, puis leur déterminant : s'il est nul, les trois points sont alignés

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , puis leur déterminant : s'il est nul, les trois points sont alignés