Comment résoudre un problème faisant intervenir des multiples ou des diviseurs ? | MetMat

Comment résoudre un problème faisant intervenir des multiples ou des diviseurs ?

En modélisant les contraintes avec des expressions $n = k \times a$ et en exploitant les propriétés des multiples

Résoudre un problème de divisibilité en traduisant les données sous forme $n = k \times a$ et en appliquant les propriétés des multiples.

L'objectif

Résoudre un problème de divisibilité en traduisant les données sous forme $n = k \times a$ et en appliquant les propriétés des multiples.

Le principe

La somme (ou la différence) de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$ ; le produit d'un multiple de $a$ par un entier est aussi un multiple de $a$ .

La méthode

1
Identifier et exprimer chaque contrainte sous la forme $n = k \times a$ (écriture d'un multiple).
2
Effectuer les opérations nécessaires (somme, différence, produit) en factorisant par $a$ .
3
Conclure en montrant que le résultat s'écrit bien sous la forme $k' \times a$ , ce qui prouve qu'il est multiple de $a$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Montrer que si $n$ est un multiple de 6, alors $n^2$ est un multiple de 36.

Étape 1 —

Identifier et exprimer chaque contrainte sous la forme

n = k \times a

(écriture d'un multiple).

Puisque $n$ est un multiple de 6, on écrit $n = 6k$ avec $k$ entier.

Étape 2 —

Effectuer les opérations nécessaires (somme, différence, produit) en factorisant par

a

$n^2 = (6k)^2 = 36k^2$ .

Étape 3 —

Conclure en montrant que le résultat s'écrit bien sous la forme

k' \times a

, ce qui prouve qu'il est multiple de

a

$n^2 = 36 \times k^2$ , donc $n^2$ est un multiple de 36.

$n^2$ est un multiple de 36.

Application guidée

Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.

Application autonome 1

Des billets de 5 \text{€} et de 10 \text{€} sont répartis dans une enveloppe. Montrer que la somme totale est toujours un multiple de 5.

Application autonome 2

Montrer que si $a$ et $b$ sont deux multiples de 7, alors $3a - 2b$ est un multiple de 7.

Application autonome 3

Un élève a $n$ billes réparties en groupes de 4 sans reste. Peut-on affirmer que $2n$ est aussi divisible par 4 ?

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En modélisant les contraintes avec des expressions n=k×an = k \times an=k×a et en exploitant les propriétés des multiples

Pour comprendre, fais des exercices !

En modélisant les contraintes avec des expressions $n = k \times a$ et en exploitant les propriétés des multiples