En résolvant le système formé par les équations des deux droites (substitution ou combinaison), les coordonnées de la solution sont celles du point d'intersection

Déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites sécantes.

L'objectif

Déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites sécantes.

Le principe

Le point d'intersection est le seul point appartenant simultanément aux deux droites : ses coordonnées $(x\,;\,y)$ vérifient les deux équations, ce qui forme un système à résoudre.

La méthode

1
Vérifier que les droites sont sécantes (coefficients directeurs différents), puis écrire le système formé par leurs deux équations.
Comment déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes ?Voir
2
Résoudre le système par substitution ou par combinaison pour trouver les valeurs de $x$ et $y$ .
Comment résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues ?Voir
3
Écrire les coordonnées du point d'intersection sous la forme $(x_0\,;\,y_0)$ et vérifier que ce point appartient bien aux deux droites.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer le point d'intersection des droites $d_1 : y = x + 2$ et $d_2 : y = -2x + 8$ .

Étape 1 —

Vérifier que les droites sont sécantes (coefficients directeurs différents), puis écrire le système formé par leurs deux équations.

$m_1 = 1 \neq -2 = m_2$ : les droites sont sécantes. Le système est $\begin{cases} y = x + 2 \\ y = -2x + 8 \end{cases}$ .

Étape 2 —

Résoudre le système par substitution ou par combinaison pour trouver les valeurs de

x

y

Par substitution : $x + 2 = -2x + 8$ , soit $3x = 6$ , donc $x = 2$ . Puis $y = 2 + 2 = 4$ .

Étape 3 —

Écrire les coordonnées du point d'intersection sous la forme

(x_0\,;\,y_0)

et vérifier que ce point appartient bien aux deux droites.

Vérification : dans $d_1$ : $y = 2 + 2 = 4$ ✓ ; dans $d_2$ : $y = -2 \times 2 + 8 = 4$ ✓. Le point d'intersection est $I(2\,;\,4)$ .

Le point d'intersection est $I(2\,;\,4)$ .

Application guidée

Déterminer le point d'intersection des droites $d_1 : y = 3x - 1$ et $d_2 : 2x + y = 9$ .

Application autonome 1

Déterminer le point d'intersection des droites $d_1 : 2x + y = 7$ et $d_2 : x - 2y = 1$ .

Application autonome 2

Déterminer le point d'intersection des droites $d_1 : y = -x + 5$ et $d_2 : y = 2x - 1$ .

Application autonome 3

Déterminer le point d'intersection des droites $d_1 : 3x + 2y = 12$ et $d_2 : x - y = 1$ .

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